Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 6 Pochodne funkcji III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 6 Pochodne funkcji III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 6 Pochodne funkcji III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu iloraz różnicowy, pochodne niektórych funkcji elementarnych, pochodne jednostronne funkcji, twierdzenia o pochodnej funkcji, różniczka funkcji, pochodne wyższych rzędów.

3 Iloraz różnicowy Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ), r>0. Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x 0 odpowiadającym przyrostowi x, gdzie zmiennej niezależnej nazywamy liczbę:

4 Iloraz różnicowy y=f(x) x y 0x0x0 x 0 + x f(x0)f(x0) f(x 0 + x) x

5 Iloraz różnicowy Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego Iloraz różnicowy jest tangensem kąta nachylenia siecznej wykresu funkcji f, przechodzącej przez punkty do dodatniej części osi Ox:

6 Pochodna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwą: lub w postaci równoważnej:

7 Pochodna funkcji w punkcie Pochodną funkcji f(x) w punkcie x 0 oznaczamy także za pomocą symbolu:

8 Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

9 Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

10 Pochodna funkcji w punkcie Styczna do wykresu funkcji Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu O(x 0 ). Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x 0,f(x 0 )) jeżeli jest granicznym położeniem siecznych wykresu funkcji f przechodzących przez punkty (x 0,f(x 0 )), (x,f(x)), gdy x x 0.

11 Pochodna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

12 Pochodna funkcji w punkcie Niech oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie (x 0,f(x 0 )) i dodatnią częścią osi Ox. Wtedy: y=f(x) x y 0 x0x0 f(x0)f(x0)

13 Pochodna funkcji w punkcie Niech wykresy funkcji f i g mają punkt wspólny (x 0,y 0 ), przy czym obie funkcje mają pochodne właściwe w punkcie x 0. Kątem przecięcia wykresów funkcji f i g nazywamy kąt ostry między stycznymi do wykresów tych funkcji w punkcie ich przecięcia.

14 Pochodna funkcji w punkcie Miara kąta przecięcia wykresów funkcji f i g wyraża się wzorem: gdzie x 0 jest rzędną punktu przecięcia wykresów. Jeżeli to przyjmujemy, że

15 Pochodna funkcji w punkcie Warunek konieczny istnienia pochodnej właściwej funkcji Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie, to jest ciągła w tym punkcie.

16 Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmniej na otoczeniu Pochodną lewostronną właściwą funkcji f w punkcie x 0 nazywamy granicę właściwą: Analogicznie definiujemy pochodną prawostronną właściwą funkcji f w punkcie x 0.

17 Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

18 Pochodna jednostronna funkcji w punkcie Warunek konieczny i dostateczny istnienia pochodnej Funkcja f ma pochodną w punkcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy

19 Pochodna funkcji na przedziale Funkcja ma pochodną właściwą na przedziale (a,b), gdzie - a

20 Pochodna funkcji na przedziale Pochodna funkcji f na przedziale to funkcja określona na tym przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f (x). Pochodną funkcji na przedziale oznaczamy za pomocą symboli:

21 Pochodna funkcji na przedziale Niech f będzie funkcją ciągłą w punkcie x 0 R. Funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną niewłaściwą wtedy i tylko wtedy, gdy Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

22 Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w punkcie x 0, to:

23 Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0, zaś funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f(x 0 ), to:

24 Twierdzenia o pochodnej funkcji Jeżeli funkcja f: - jest ciągła na otoczeniu O(x 0 ), - jest ściśle monotoniczna na otoczeniu O(x 0 ), - ma pochodną właściwą to:

25 Różniczka funkcji Niech funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x 0. Różniczką funkcji f w punkcie x 0 nazywamy funkcję df zmiennej x=x-x 0 określoną wzorem: y=f(x) x y 0 x0x0 x 0 + x f(x0)f(x0) f(x 0 + x) x df f

26 Pochodne wyższych rzędów Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0 definiujemy indukcyjnie: gdzie oraz przyjmujemy:

27 Pochodne wyższych rzędów Funkcję określoną na przedziale, której wartości w punktach x tego przedziału są równe f (n) (x), nazywamy pochodną n-tego rzędu funkcji f na tym przedziale i oznaczamy przez:

28 Pochodne wyższych rzędów Wzór Leibniza Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe n-tego rzędu w punkcie x 0, to:

29 Pochodne funkcji wektorowych Niech będzie funkcją wektorową. Pochodną funkcji r w punkcie t określamy wzorem: Analogicznie określamy pochodną funkcji trzech zmiennych a także pochodne wyższych rzędów.


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 6 Pochodne funkcji III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google