Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Studia Podyplomowe Informatyka dla Nauczycieli Politechnika Warszawska Instytut Informatyki.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Studia Podyplomowe Informatyka dla Nauczycieli Politechnika Warszawska Instytut Informatyki."— Zapis prezentacji:

1

2 Studia Podyplomowe Informatyka dla Nauczycieli Politechnika Warszawska Instytut Informatyki

3 2 x Pojęcie pochodnej Gdy ciało porusza się po linii prostej, współrzędna jego położenia x zmienia się wraz z upływem czasu t. Przypuśćmy, że w pewnym przedziale czasu t położenie zmieniło się o x. Powiemy, że w przedziale czasu t ciało miało prędkość średnią: X

4 3 Pojęcie pochodnej Jednak w czasie t ciało mogło zwalniać i przyspieszać. Można zatem zadać pytanie: jaka była prędkość chwilowa na początku omawianego przedziału czasu? Aby uzyskać odpowiedź na tak postawione pytanie, należałoby zmierzyć zmianę położenia ciała w krótszym przedziale czasu. x Interesuje nas więc granica zwana pochodną położenia x względem czasu t. xx

5 4 Definicja pochodnej Przypuśćmy, że określona jest funkcja y(x), która przyporządkowuje wielkości x (zmiennej niezależnej) pewną inną wielkość y (zmienną zależną). Pochodną funkcji y(x) w punkcie x o nazywamy granicę ilorazu różnicowego: XY

6 5 Interpretacja geometryczna x y y x x x+ x y(x) y(x+ x) Pochodna równa jest tangensowi kąta nachylenia stycznej do osi OX. Wartość ilorazu różnicowego y/ x jest tangensem kąta, określającego nachylenie siecznej, czyli linii, która przecina krzywą w punktach (x, y(x)) i (x+ x, y(x+ x)). Kiedy x 0, sieczna dąży do stycznej do krzywej w punkcie (x,y(x)).

7 6 x0x0 x1x1 x2x2 x3x3 Funkcje potęgowe Funkcje potęgowe mają postać y(x) = x n.

8 7 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stała y(x) = c Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = y(x+ x) - y(x) = c-c = 0 Pochodna funkcji stałej jest równa zero. y x Funkcja liniowa y(x)=a·x y x Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna funkcji liniowej jest stała i wynosi a.

9 8 Funkcja kwadratowa y=a·x 2 Pochodne funkcji potęgowych Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x 0 i wynosi y(x)=2ax Kąt nachylenia stycznej do wykresu funkcji rośnie wraz ze wzrostem x. y(x)=x 2

10 9 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja trzeciego stopnia y(x) = a·x 3 Pochodna, czyli granica tego ilorazu dla x dążącego do zera, wynosi y(x)=3ax 2 Iloraz różnicowy jest równy: x y y(x)=x 3 y(x)=x 2

11 10 Pochodne funkcji potęgowych Funkcja stopnia -1 y(x) = x -1 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna jest granicą tego ilorazu dla x dążącego do zera i wynosi y(x) = (-1)·x -2 Funkcja jest malejąca, więc jej pochodna jest ujemna. x y y(x)=1/x y(x)=-1/x 2

12 11 Pochodne funkcji potęgowych

13 12 Iloraz różnicowy wynosi: Pochodna funkcji sinus Funkcja y(x) = sin(x) Czyli sin(x) = cos(x) y x 2 0 y(x)=sin(x) y x y(x)=cos(x)

14 13 Pochodna funkcji cosinus Funkcja y(x) = cos(x) Iloraz różnicowy wynosi: Pochodną funkcji cosinus jest -sinus y(x)=cos(x) x y 2 0 y(x)=-sin(x)y x 2 0

15 Pochodna funkcji wykładniczej Po obliczeniu granicy tego ilorazu dla x dążącego do zera, otrzymamy wzór pochodnej: 1 x y 2x2x 4x4x exex 1 x y 2 x ln2 exex 4 x ln4 Funkcja y(x) = a x Iloraz różnicowy wynosi: (a x )= a x lna

16 15 Pochodna funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej jest proporcjonalna do samej funkcji. x y 1 2x2x 2 x ln2 4x4x 4 x ln4 exex

17 16 Pochodna funkcji y(x)=a·f(x) Pochodna funkcji pomnożonej przez stałą y(x) = a f(x) Iloraz różnicowy ma postać: Jeśli obliczymy granicę tego ilorazu, otrzymamy wzór: y(x) = a f (x) 2 1 x y 2sin(x) x y 2cos(x) 2 0

18 17 Pochodna sumy funkcji Licznik ilorazu różnicowego jest równy: Pochodna sumy funkcji jest równa sumie ich pochodnych: y(x) = f(x) + g(x) Cały iloraz różnicowy ma więc postać sumy dwóch ilorazów różnicowych: Pochodna sumy funkcji y(x) = f(x) + g(x) y = y (x+ x) - y(x) = = (f(x+ x) + g(x+ x)) - (f(x) + g(x)) = = (f(x+ x)-f(x)) + (g(x+ x)–g(x))

19 18 y(x) = x+sin(x) Pochodna sumy funkcji y(x) = 1+cos(x) Funkcja y(x) = x + sin(x) i jej pochodna y x

20 19 Pochodna iloczynu funkcji Pochodna iloczynu funkcji y(x) = f(x)g(x) Iloraz różnicowy ma postać: y(x) = f(x)g(x)+f(x) g(x) Licznik ilorazu różnicowego jest równy: y = f(x+ x) g (x+ x) -f(x) g (x) = = (f(x+ x) – f(x)) g(x+ x) – f(x) (g(x+ x)–g(x)) Dla x 0 otrzymujemy:

21 20 Pochodna iloczynu funkcji y=x·sin(x) y=sin(x)+x·cos(x) yx y x

22 21 Pochodna ilorazu funkcji Iloraz różnicowy można zapisać następująco: Pochodna ilorazu funkcji y(x) = f(x)/g(x) Dla x 0 mamy: Pochodna ilorazu funkcji f(x) przez g(x) jest równa różnicy iloczynu pochodnej pierwszej funkcji przez drugą i iloczynu pierwszej funkcji przez pochodną drugiej funkcji, podzielonej przez kwadrat drugiej funkcji. y(x) = f(x)· g(x) - f(x)· g(x) g(x) 2

23 22 Pochodna ilorazu funkcji x x

24 23

25 Pochodną funkcji y(x) = cos(x) jest funkcja: -sin(x) -tg(x)·cos(x) Obie odpowiedzi są poprawne

26 Pochodną funkcji y(x) = tg(x) jest funkcja: ctg(x) 1/cos 2 (x) 1/x 2

27 Pochodną funkcji y(x) = 2x jest funkcja: 3x x x 2

28 Pochodną funkcji y(x) = 1/x jest funkcja: -1/x/x -1/x 2 Obie odpowiedzi są poprawne

29 28 Pochodną funkcji y(x) = e x jest funkcja: x·exx·ex exex e x /x

30

31 30 1. Wielka internetowa encyklopedia multimedialna 2. Dydaktyka w Internecie 4. H. Łubowicz, B. Wieprzkowicz: Matematyka. Podstawowe wiadomości teoretyczne i ćwiczenia dla studentów studiów inżynierskich. 5. K. Litewska, J. Muszyński: Analiza matematyczna, cz W. Żakowski: Matematyka, cz K. Kłaczkow, M. Kurczab, E. Świda: Matematyka. Podręcznik do liceów i techników. Klasa III. Neto- i bibliografia


Pobierz ppt "Studia Podyplomowe Informatyka dla Nauczycieli Politechnika Warszawska Instytut Informatyki."

Podobne prezentacje


Reklamy Google