Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej."— Zapis prezentacji:

1 Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej. Rodzaje interpolacji: Interpolacja wielomianami Interpolacja funkcjami wymiernymi Interpolacja funkcjami trygonometrycznymi Interpolacja funkcjami sklejanymi

2 Szacowanie określonych wielkości w punktach pośrednich. Prowadzenie gładkich krzywych lub powierzchni przez punkty pomiarowe lub z symulacji (funkcje sklejane). Algorytmy numeryczne, np.: –Znajdowanie miejsc zerowych funkcji –Uzbieżnianie procesów iteracyjnych (np. SCF) –Różniczkowanie i całkowanie numeryczne. Zastosowania interpolacji

3 Zagadnienie interpolacyjne x0x0 x1x1 x2x2 xkxk xnxn f(x 0 ) f(x 1 ) f(x 2 ) f(x k ) f(x n ) x y W przedziale [a,b] dane są węzły x 0 =a; x 1, x 2,..., x n =b takie że f(x 0 )=y 0, f(x 1 )=y 1, f(x 2 )=y 2,..., f(x n )=y n Należy znaleźć funkcję interpolującą F która w węzłach przyjmuje takie same wartości jak f.

4 Interpolacja wielomianowa Interpolacja trygonometryczna Interpolacja wymierna Interpolacja funkcjami sklejanymi (spline) Interpolacja Hermitea: interpolacja wielomianowa, w której oprócz zadanych wartości funkcji w węzłach są zadane wartości pochodnych do rzędu m włącznie (m>0).

5 Wzór interpolacyjny Lagrangea

6

7 L k (x) jest wielomianem stopnia co najwyżej n Zatem

8 Przypadek węzłów równoodległych

9 Przykład: równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty x0x0 x1x1 y0y0 y1y1 y

10 Schemat Aitkena interpolacji wielomianowej Lagrangea

11 Kolejność obliczania wielomianów w schemacie Aitkena

12 Oszacowanie błędu wzoru interpolacyjnego Uwaga! Wyższy stopień wielomianu interpolacyjnego (więcej węzłów) wcale nie musi oznaczać poprawy jakości interpolacji. Przykładem negatywnym jest interpolowanie funkcji y=|x| lub y=1/(1+ax 2 ). Wręcz przeciwnie: im niższy stopień wielomianu tym bezpieczniej.

13 Wzór interpolacyjny Newtona Ilorazy różnicowe

14 Schemat obliczania ilorazów różnicowych

15

16 Przypadek węzłów równoodległych x 1 -x 0 =x 2 -x 1 =..=x n -x n-1 =h Definiujemy różnice progresywne funkcji rzędu 1, 2,..., n

17 Wzór interpolacyjny Newtona dla węzłów równoodległych

18 Interpolacja funkcjami wymiernymi

19 Definiujemy odwrotne ilorazy różnicowe Wtedy wymierną funkcję interpolacyjną można przedstawić w postaci następującego ułamka ciągłego

20 Ułamek ciągły można zwinąć do ilorazu wielomianów wyliczając P k (x) i Q j (x) w następujący sposób

21 Interpolacja funkcjami sklejanymi a=x 0 x1x1 x2x2 x n-1 x n =b x y (x 0,y 0 ) (x 1,y 1 ) (x 2,y 2 ) (x n-1,y n-1 ) (x n,y n ) P 0 (x) P 1 (x) P 2 (x) P n-1 (x)

22 Funkcje sklejane stopnia trzeciego 1.S jest klasy C 2 w [a,b] 2.S jest wielomianem trzeciego stopnia w każdym podprzedziale [x i,x i+1 ], i=0,1,...,n-1 3.S interpoluje f, tj. S(x i )=y i, i=0,1,...,n-1 4.Dla x b S jest reprezentowana przez styczną do S w punktach odpowiednio x=a i x=b (czyli druga pochodna poza przedziałem interpolacji znika); są to tzw. naturalne funkcje sklejane.

23 Warunki wynikające z Ogólna postać funkcji sklejanych stopnia trzeciego

24 Algorytm znajdowania funkcji sklejanych stopnia trzeciego

25

26

27 Interpolacja Lagrangea w dwóch wymiarach y0y0 y1y1 …ynyn x0x0 f 00 f 01 …f 0n x1x1 f 10 f 11 …f 1n … xmxm f m0 f m1 …f mn

28


Pobierz ppt "Interpolacja Cel interpolacji Znalezienie funkcji odpowiedniej klasy przechodzącej przez dany zestaw punktów (węzłów) w przestrzeni dwu- lub więcej wymiarowej."

Podobne prezentacje


Reklamy Google