Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi."— Zapis prezentacji:

1 11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi niezależnymi, lecz funkcjami innej zmiennej niezależnej (zmiennych niezależnych) Rozpatrzmy najpierw przypadki szczególne: 1.Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t 2.Funkcja n zmiennych z=f(x 1,..., x n ), wszystkie zmienne x 1,..., x n zależą od jednej zmiennej t 3.Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v a potem przypadek ogólny funkcji n zmiennych z=f(x 1,..., x n ), której wszystkie zmienne x 1,..., x n zależą od m innych zmiennych u 1,..., u m Ad 1. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od jednej zmiennej t czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t) Niech Pochodna zupełna

2 Ad 2. Funkcja n zmiennych z=f(x 1,..., x n ), wszystkie zmienne x 1,..., x n zależą od jednej zmiennej t czyli funkcja z w rzeczywistości zależy tylko od jednej zmiennej t z=z(t) Niech Pochodna zupełna Ad 3. Funkcja dwóch zmiennych z=f(x,y), obie zmienne x i y zależą od dwóch zmiennych u i v Niech Pochodne cząstkowe

3 Przypadek ogólny: funkcja n zmiennych z=f(x 1,..., x n ), której wszystkie zmienne x 1,..., x n zależą od m innych zmiennych u 1,..., u m Niech Pochodne cząstkowe

4 Inna definicja funkcji uwikłanej: Funkcję y=f(x) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych x i y wyrażona jest równaniem F(x, y)=0. Uwaga: nie jest jedyną funkcją uwikłaną, określoną równaniem. Funkcji takich jest nieskończenie wiele, np. Może się też zdarzyć, że równanie F(x, y)=0 nie określa żadnej funkcji, np. Nie zawsze da się rozwiązać to równanie względem y i wyrazić tę zależność wzorem y=f(x) czyli w postaci jawnej. 12. Różniczkowanie funkcji uwikłanej Def. 69 (funkcji uwikłanej) Niech będzie dana funkcja dwóch zmiennych F(x, y) określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja y=f(x) taka, że w pewnym zbiorze F[x, f(x)]=0, to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y)=0. Przykład: Funkcja jest funkcją uwikłaną, określoną w przedziale równaniem, bo dla każdego –1

5 Tw. 57 można zatem zapisać także jako Ponieważ y=f(x), to licząc pochodną zupełną (jak w dowodzie) otrzymamy: skąd można wyliczyć drugą pochodną y Podobnie liczymy pochodne wyższych rzędów Dowód: Można zatem liczyć pochodną funkcji uwikłanej bez konieczności jej rozwikłania!!! Tw. 57 – o pochodnej funkcji uwikłanej Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to istnieje pochodna

6 Def. 69a (funkcji uwikłanej dwóch zmiennych) Niech będzie dana funkcja trzech zmiennych F(x, y, z) określona w pewnym obszarze. Jeżeli istnieje funkcja z=f(x, y) taka, że w pewnym zbiorze F[x, y, f(x, y)]=0, to nazywamy ją funkcją uwikłaną określoną w tym zbiorze równaniem F(x, y, z)=0. Tw. 57a – o pochodnej funkcji uwikłanej dwóch zmiennych Jeżeli funkcja uwikłana istnieje i jest jednoznaczna, to pochodne cząstkowe i można obliczyć ze wzorów Inna definicja funkcji uwikłanej dwóch zmiennych: Funkcję z=f(x, y) nazywamy uwikłaną, jeżeli zależność między wartościami zmiennych z, x i y wyrażona jest równaniem F(x, y, z)=0. Funkcja uwikłana dwóch zmiennych

7 Def. 69a (układu dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej) Niech będą dane dwie funkcje trzech zmiennych F 1 (x, y, z) i F 2 (x, y, z). Jeżeli istnieją funkcje y=f 1 (x) i z=f 2 (x) takie, że F 1 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0 i F 2 [x, f 1 (x), f 2 (x)]=0, to nazywamy je funkcjami uwikłanymi określonymi równaniami F 1 (x, y, z)=0 i F 2 (x, y, z)=0. Układ dwóch funkcji uwikłanych jednej zmiennej Pochodne y =dy/dx i z =dz/dx można obliczyć w sposób analogiczny jak poprzednio z układu Podobnie różniczkując n razy można policzyć pochodne y (n) i z (n)

8 13. Ekstrema warunkowe Gdy zmienne w funkcji wielu zmiennych są zmiennymi niezależnymi, mówimy o ekstremach bezwarunkowych. Jeżeli zmienne te są ze sobą powiązane, mówimy o ekstremach warunkowych. Najprostsza sytuacja: dana funkcja dwóch zmiennych z=f(x, y) powiązanych równaniem g(x, y)=0 zwanym równaniem więzów. Jak znaleźć ekstremum funkcji z=f(x, y) przy warunku g(x, y)=0? Gdyby można było rozwikłać równanie g(x, y)=0 i wyznaczyć z niego y=h(x), to po wstawieniu do z=f(x, y)=f(x, h(x)) otrzymuje się funkcję jednej zmiennej. Ale rozwikłanie równania g(x, y)=0 bywa bardzo trudne, a czasem niemożliwe. Dlatego do znalezienia ekstremum warunkowego stosuje się metodę mnożników nieoznaczonych Lagrangea i rozpatruje tzw. funkcję Lagrangea (lagrangian) L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y)

9 Tw. 58 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji dwóch zmiennych Warunkiem koniecznym na to, by w punkcie (x 0, y 0 ) istniało ekstremum funkcji z=f(x, y) przy założeniu, że g(x 0, y 0 )=0 jest, aby istniała taka liczba λ 0,że punkt (x 0, y 0, λ 0 ) stanowi rozwiązanie układu równań Jeżeli ponadto wyróżnik jest dodatni, to mamy maksimum, a gdy ujemny – minimum. Uwaga: ponieważ war. konieczny można zapisać jako Przykład: Znaleźć najmniejszą odległość punktu (a, b) na płaszczyźnie od prostej Ax+By+C=0 Kwadrat odległości danego punktu (a, b) od dowolnego punktu (x, y) to d 2 =(x-a) 2 +(y-b) 2 Najmniejsza odległość to minimum funkcji f(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2 z dodatkowym warunkiem, że punkt (x, y) leży na danej płaszczyźnie czyli przy warunku g(x, y)= Ax+By+C=0 L(x, y, λ )=f(x, y) + λ g(x, y) =(x-a) 2 +(y-b) 2 + λ(Ax+By+C)

10 Znaleźć ekstrema funkcji n zmiennych z=f(x 1,..., x n ) powiązanych m równaniami g k (x 1,..., x n )=0, k=1, 2,..., m. Lagrangian L(x 1,..., x n, λ 1,..., λ m )= f(x 1,..., x n )+λ 1 g 1 (x 1,..., x n )+λ 2 g 2 (x 1,..., x n ) λ m g m (x 1,..., x n ) Przypadek ogólny poszukiwanie ekstremów funkcji n zmiennych powiązanych m równaniami więzów Tw. 59 – o istnieniu ekstremum warunkowego funkcji n zmiennych Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum warunkowego jest zerowanie się wszystkich pochodnych cząstkowych lagrangianu Albo inaczej:

11 14. Zastosowania w ekonomii Elastyczność cząstkowa dla funkcji dwóch zmiennych Elastyczność cząstkowa względem zmiennej x Elastyczność cząstkowa względem zmiennej y Elastyczność E x f(x 0, y 0 ) mówi, o ile procent w przybliżeniu wzrośnie lub zmaleje wartość funkcji f(x, y), jeżeli zmienna x wzrośnie o 1% licząc od x 0 Przykład: Popyt q na pewne dobro zależy od ceny tego dobra p 1 i ceny innego dobra (substytucyjnego) p 2 q=f(p 1, p 2 ) Elastyczność cząstkowa E p1 (q) popytu q względem ceny tego dobra oznacza w przybliżeniu procentowy wzrost (lub spadek) popytu na to dobro, gdy jego cena wzrasta a 1%, a cena p 2 pozostaje bez zmiany. Np. niechq=25-2p 1 + p 2 Np. dla p 1 =3 i p 2 =1 mamy E p1 (q)=-0,3 i E p2 (q)=0,05 czyli gdy cena naszego dobra wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie dobra substytucyjnego, to popyt na nasze dobro maleje o 0,3%, a gdy cena dobra substytucyjnego wzrasta o 1% przy niezmienionej cenie naszego dobra, to popyt na nasze dobro rośnie o 0,05%

12 dla funkcji n zmiennych Rachunek marginalny (analiza krańcowa) funkcji wielu zmiennych Przypomnienie: Krańcowy wynik z x k procesu gospodarczego z= f(x 1,..., x n ) (koszt, przychód, zysk itp.) to przybliżony dodatkowy wynik przy zwiększeniu pewnego czynnika x k (produkcja, cena) o jedną jednostkę od ustalonego poziomu. Krańcowy wynik x k -czynnikowy Przykład: firma produkuje cztery towary w ilości x, y, u i v sztuk. Koszt produkcji tych towarów wynosi C(x, y, u, v) koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru pierwszego przy poziomie produkcji x koszt wykonania jednej dodatkowej jednostki towaru drugiego przy poziomie produkcji y itp. Niech C(x, y, u, v)= 2,5x 2 +2y 2 +4u 2 +3v i niech aktualna produkcja wynosi odpowiednio 100, 50, 75 i 40 sztuk Oznacza to, że przy podanym poziomie produkcji koszt produkcji dodatkowej (sto pierwszej) jednostki towaru pierwszego wyniesie 500, dodatkowej (pięćdziesiątej pierwszej) jednostki towaru drugiego – 200, dodatkowej (siedemdziesiątej szóstej) jednostki towaru trzeciego – 600, a dodatkowej (czterdziestej pierwszej) jednostki towaru czwartego – 120.


Pobierz ppt "11. Różniczkowanie funkcji złożonej Mówimy o funkcji złożonej, jeżeli argumenty tej funkcji zależą od innej zmiennej (zmiennych) czyli nie są zmiennymi."

Podobne prezentacje


Reklamy Google