Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:"— Zapis prezentacji:

1

2

3 warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:

4 a minory są postaci:

5 Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne były równe zero. Warunek dostateczny jest spełniony wtedy, gdy minory Hessiana: dla maksimum - zmieniają znaki na przemian -, +, -,... dla minimum - wszystkie minory są dodatnie

6 Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x 1,x 2,...,x n ) oraz jednym warunku dodatkowym g(x 1,x 2,..,x n.)=0 Dla funkcji n-zmiennych postaci y=f(x 1,x 2,...,x n ) o własnościach analogicznych jak dla dwóch zmiennych oraz jednym warunku dodatkowym w postaci funkcji liniowej g(x 1,x 2,...,x n )=0 tworzymy funkcję Lagrangea: F(x 1,x 2,...,x n, )=f(x 1,x 2,...,x n )+ g(x 1,x 2,...,x n )

7 warunkiem koniecznym istnienia ekstremum tej funkcji jest by pierwsze pochodne cząstkowe były równe zero:

8 warunkiem dostatecznym istnienia ekstremum dla: maksimum jest by znaki głównych minorów Hessiana zmieniały się na przemian -, +, -, +,... minimum - wszystkie minory powinny być dodatnie Wyznacznik Hessiana ma postać:

9 Ekstremum funkcji z wieloma zmiennymi y=f(x 1,x 2,...,x n ) oraz wieloma warunkami dodatkowymi liniowymi g j (x 1,x 2,..,x n.)=c j Dla funkcji n-zmiennych y=f(x 1,x 2,...,x n ) oraz j-ograniczeniach dodatkowych (liniowych) g j (x 1,x 2,...,x n )=c j gdzie m

10 a Hessian obrzeżony: gdzie: f in - drugie pochodne cząstkowe funkcji Y, - pierwsze pochodne cząstkowe funkcji gj gj po zmiennych i

11 1 Warunki Kuhn-Tucker,a wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. Dla funkcji f(x) w przypadku, gdy jest ona ciągła, różniczkowalna w przedziale i wypukła, warunkiem istnienia ekstremum lokalnego w punkcie x1 x1 jest:

12 Dla funkcji n-zmiennych warunek ten ma postać: gdzie: f j - pierwsze pochodne funkcji, x j f j - warunek komplementarności.

13 Przy wprowadzaniu m-ograniczeń nieliniowych, problem optymalizacji funkcji n-zmiennych przyjmie postać: a funkcja Lagrangea jest postaci:

14 Dla istnienia ekstremum musza być spełnione warunki Kuhn-Tuckera:

15 gdzie: i=1,2,...,m j=1,2,...,n Dwa pierwsze równania są podobne do warunków koniecznych, w przypadku warunków ubocznych w formie równań. Różnica jest taka, że te pochodne cząstkowe niekoniecznie muszą być równe zero, a jedynie są niedodatnie w pierwszym równaniu, i nieujemne w drugim. Dwa następne warunki gwarantują nieujemność wszystkich zmiennych, w tym i mnożników Lagrangea. Kolejne dwa równania są warunkami komplementarności.

16 Dla wypukłych f(x 1,...,x n ) i g i (x 1,...,x n ) gdzie i=1,2,...,m warunki Kuhn-Tucker'a są wystarczające dla istnienia maksimum globalnego. Przy minimalizacji wystarczy zmodyfikować te warunki, jeżeli wszystkie funkcje są wklęsłe, bądź wystarczy maksymalizować funkcję ze znakiem ujemnym.

17 W przypadku maksymalizacji funkcji f(x 1,...,x n ) przy i-warunkach dodatkowych (i=1,2,...,m): g i (x 1,...,x n ) x j funkcja Lagrangea ma postać:

18 Warunki Kuhn-Tuckera są następującej postaci:

19 Mnożniki Lagrangea przy warunkach ubocznych w formie nierówności mierzą stopę wzrostu wartości optymalnej funkcji celu przy jednostkowych zmianach w warunkach ubocznych, o ile są zdefiniowane odpowiednie pochodne cząstkowe.

20 Dla problemu produkcji, interpretacja jest następująca: fj fj - wartość graniczna produktu, - cena korzyści czynnika i (cena cieniowa), - ilość użytego czynnika i do produkcji jednostki marginalnej dobra j, - marginalne koszty zastosowania czynnika i w produkcji dobra j. - agregaty marginalnych kosztów produkcji dobra j.


Pobierz ppt "warunkiem koniecznym istnienia ekstremum funkcji jest by pierwsze pochodne spełniały warunek: tworzony jest Hessian:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google