Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre."— Zapis prezentacji:

1 Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre. Euler używał ich intensywnie do badania problemów z teorii liczb. Def. Funkcją tworzącą ciągu liczbowego (p j ), j=0,1,… nazywamy funkcję :, jeśli tylko powyższy szereg potęgowy jest zbiezny w niepustym przedziale (-a,a). Gdy X jest zmienną losową o wartościach całkowitych nieujemnych i o rozkładzie P(X = j) = p j, j=0,1,… to funkcję tworzącą ciągu (p j ) nazywamy funkcją tworzącą zmiennej losowej X i oznaczamy g X. Z definicji wynika natychmiast, że g X (s)=Es X. Oczywiście funkcja tworząca zależy tylko od rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej.

2 Funkcja tworząca jest dobrze określona co najmniej dla, bowiem z oszacowania : wynika wtedy bezwględna zbieżność szeregu (1). Dla |s| < 1 pierwsze dwie pochodne wynoszą : a ogólnie : Stąd dla s = 0 mamy :

3 Udowodniliśmy zatem następujące : Twierdzenie : Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej o wartościach całkowitych nieujemnych jest jednoznacznie wyznaczony przez funkcję tworzącą. Powróćmy do wzoru (2). Jeśli EX < N, to szereg definiujący pierwszą pochodną jest zbieżny dla s = 1. Na mocy twierdzenia Abela mamy wtedy : Jeśli EX = N, to szereg jest rozbieżny, ale i Można zatem przyjąć dopuszczając wartość N. Otrzymujemy wtedy po prostu : Podobnie :

4 Jeżeli EX 2 < N, to z (3) i (4) otrzymujemy : Przykład : Niech X ma rozkład geometryczny P(X = j) = q j p, gdzie j = 0,1… Wtedy : Stąd : i

5 Funkcja tworząca sumy niezależnych składników Z zależności g X (s) = Es X wynika następujące : Twierdzenie : Jeżeli X 1, X 2, …, X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g 1, g 2, …, g n, to suma X 1 + X 2 + … + X n ma funkcję tworzącą : D o w ó d. Ponieważ X 1, X 2, …, X n są niezależnymi zmiennymi losowymi, to zmienne losowe s X i, i = 1,2,...,n są niezależne i g X1 + X2 + … + Xn (s) = Es X1 + X2 + … + Xn =,ale g Xi (s) = Es Xi, zatem g X1 + X2 + … + Xn (s) =

6 Twierdzenie : Jeśli X, Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o funkcjach tworzących g 1, g 2,, to P(X-Y = k) jest równe współczynnikowi przy s k w funkcji g 1 (s)g 2 (1/s). D o w ó d. Mamy Obliczmy wyraz z s k. Dla k >= 0 ma on postać : Dla k < 0 rachunki są podobne.

7 Przykład. Obliczymy prawdopodobieństwo, że liczba całkowita wylosowana ze zbioru liczb od do będzie miała sumę pierwszych trzech cyfr równą sumie ostatnich trzech cyfr. Jeśli X = X1 + X2 + X3 będzie sumą pierwszych trzech cyfr, a Y = Y1 + Y2 + Y3 będzie sumą ostatnich trzech cyfr, to g x (s)g y (1/s) = s -27 (1-s 10 ) 6 (1-s )-6. Zatem współczynnik przy s 0 jest równy :


Pobierz ppt "Funkcje tworzące są wygodnym narzędziem przy badaniu zmiennych losowych o wartościach całkowitych nieujemnych. Funkcje tworzące pierwszy raz badał de Moivre."

Podobne prezentacje


Reklamy Google