Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład I Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład I Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład I Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Definicja ciągu liczbowego Definicja ciągu liczbowego Określenie typu ciągu Określenie ciągu Monotoniczność ciągu Ograniczoność ciągu Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny Granice ciągu Wybrane twierdzenia o granicy ciągu Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice Przykłady

3 Funkcję, której dziedziną jest zbiór liczb naturalnych N lub jego skończony odcinek początkowy a przeciwdziedziną wyrazy będące liczbami z dowolnego ciągiem liczbowym nazywa się Definicja ciągu liczbowego,, :. zbioru liczbowego

4 Jeżeli dziedziną funkcji jest zbiór N, ciąg nazywa się nieskończonym Jeżeli dziedziną funkcji jest skończony odcinek początkowy Typ ciągu ciąg nazywa się skończonym lub n-elementowym,..

5 Ciąg liczbowy można określić jednym z następujących sposobów: - przez podanie wzoru rekurencyjnego np. - przez podanie kolejnych wyrazów ciągu np. - przez podanie wzoru na ogólny wyraz ciągu np.,,,,. Określenie ciągu,,

6 Monotoniczność ciągu Ciąg { } jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: Ciąg { } jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby naturalnej n zachodzi: lub..

7 Ograniczoność ciągu Ciąg { } jest ograniczony z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba B, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba A, że każdy wyraz ciągu: Ciąg { } jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją takie liczby A i B (A

8 Ważniejsze ciągi Ciąg arytmetyczny Ciąg geometryczny definicja twierdzenia definicja twierdzenia

9 Ciąg arytmetyczny Definicja: Ciągiem arytmetycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz(począwszy od drugiego) powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego stałej liczby rzwanejróżnicą ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub.

10 Twierdzenia dotyczące ciągu arytmetycznego,,.

11 Ciąg geometryczny Definicja: Ciągiem geometrycznym nazywa się ciąg liczbowy, którego każdy wyraz(począwszy od drugiego) powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez stałą liczbę qzwanąilorazem ciągu. Dla każdej liczby naturalnej n lub.

12 Twierdzenia dotyczące ciągu geometrycznego,,. Jeżeli | q | < 1, to suma nieskończona ciągu geometrycznego.

13 Granice ciągu Definicja: Liczbę g nazywa się granicą ciągu liczbowego nieskończonego jeżeli każde jej otoczenie zawiera prawie wszystkie wyrazy tego ciągu.., Przez otoczenie liczby należy rozumieć dowolny przedział otwarty zawierający liczbę g. Liczba taka, jeżeli istnieje jestjedyna Oznacza się ją symbolem:.

14 Granice ciągu cd. Definicja: Ciąg nieskończony, który ma granicę skończoną nazywa się W przeciwnym przypadku mówi się o ciągu zbieżnym. rozbieżnym.

15 Wybrane twierdzenia o granicy ciągu Jeżeliito:,,,dla.,

16 Wybrane twierdzenia o granicy ciągu cd. Jeżeli dane są trzy ciągi, i takie, że od pewnegonpoczynając i takie, że, to istnieje granica ciągu. i

17 Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice,,,gdy.

18 Rachunek granic ciągów liczbowych - znane granice cd.,,, gdy,, Można również korzystać ze wzorów skróconego mnożenia i działań na potęgach.,,

19 Przykłady a), b), c) Tabela.

20 Przykład a) Tabela

21 Przykład b) Tabela

22 Przykład c) Tabela

23 Uproszczony zapis Jeżelito i i i i i i i wymaga szczególnego badania

24 dodatek - przykład b-1 Tabela

25 dodatek - przykład b-2 Jeżeli ciągma granicę, gdziejest ustaloną liczbą naturalną, ma granicę. to ciąg, Tabela


Pobierz ppt "Analiza matematyczna - Ciągi liczbowe wykład I Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google