Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład II Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład II Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład II Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Funkcje jednej zmiennej Granica funkcji w punkcie Granica niewłaściwa Granice jednostronne Granica funkcji w nieskończoności Ważniejsze granice Ważniejsze granice- cd Ważniejsze granice- cd Rachunek granic Przykłady Ciągłość funkcji Przykłady obliczania ciągłości funkcji Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Wybrane twierdzenia

3 Funkcje jednej zmiennej Definicja: Każde przyporządkowanie liczbie x ze zbioru X dokładnie jednej liczby y ze zbioru Y nazywa sięfunkcją i oznacza się. Dziedziną funkcji nazywa się zbiór takich wartości x, dla których y ma sens liczbowy.

4 Granica funkcji w punkcie Zakłada się, że funkcja jest określona w pewnym sąsiedztwiepunktu czyli na zbiorze, gdziejest pewną liczbą dodatnią.

5 Granica funkcji w punkcie - wg Heinego Definicja wg Heinego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji jeżeli dla każdego ciągu ciąg wartości funkcji. w punkcie o wyrazach i zbieżnego do jest zbieżny do g dodatek,

6 Granica funkcji w punkcie - wg Heinego symbolicznie i dodatek.

7 Granica funkcji w punkcie - wg Cauchyego Definicja wg Cauchyego: Liczbę g nazywa się granicą funkcji wtedy i tylko wtedy. w punkcie, jeżeli dla każdej liczby istnieje taka liczba, że dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność dodatek

8 Granica funkcji w punkcie - wg Cauchyego - symbolicznie. dodatek

9 Granica funkcji w punkcie -dodatek Obie definicje są równoważne. nazywa sięGranicę granicą właściwą Definicja wg Heinego: Definicja Cauchyego:.

10 Niektóre twierdzenia dotyczące granic Jeżeli, i, to,,, dla gdy c jest stałą. :,

11 Granica niewłaściwa W odróżnieniu od granic właściwych - liczba rzeczywista granice niewłaściwe funkcji to, lub. lub Można jak i dla granic właściwych podać definicje granic niewłaściwych wg Heinego i wg Cauchyegowg Heinegowg Cauchyego -.

12 Granica funkcji w punkcie - wg Heinego 2 Definicja: Funkcjagranicę niewłaściwą ciąg wartości funkcji ma w punkcie ( - sąsiedztwo punktu ) i zbieżnego do jeżeli dla każdego ciągu o wyrazach jest zbieżny do,., Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Cauchyego

13 Granica funkcji w punkcie - wg Cauchyego 2 Definicja: wtedy i tylko wtedy. gdy dla dowolnej liczby M istnieje taka liczbaże dla każdego spełniającego warunek spełniona jest nierówność Granica niewłaściwa Granica niewłaściwa wg Heinego Funkcjagranicę niewłaściwąma w punkcie,,,

14 Granice jednostronne. do tego sąsiedztwa nazywa się i oznacza się Jeżeli funkcja to granicę w punkcie jest określona w prawostronnym sąsiedztwie punktu,funkcjizawężonej prawostronną granicą funkcji w punkcie Analogicznie definiuje się lewostronną granicę funkcji w punkcie.

15 Granice jednostronne - twierdzenie Funkcjama granicę w punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje w tym punkcie granica lewostronna i prawostronna i granice te są sobie równe (właściwą lub niewłaściwą) Granice jednostronne.

16 Granica funkcji w nieskończoności Granica niewłaściwa O granicy funkcji w nieskończoności mówi się wtedy,. Granice jednostronne gdy funkcja określona jest w przedziale i dąży do lub albo

17 Granica funkcji w nieskończoności -cd Granica niewłaściwa Granice jednostronne Granicę funkcji w nieskończoności oblicza się analogicznie jak granicę ciągu. Może ona być granicą właściwą lub niewłaściwą. W każdym przypadku można zapisać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchyego.

18 Ważniejsze granice Granica niewłaściwa Granice jednostronne dla,,,,,,,.,,,,

19 Ważniejsze granice-cd. Granica niewłaściwa Granice jednostronne,,,,. granica nie istnieje, ponieważ w każdym sąsiedztwie punktu lub funkcja przyjmuje wszystkie wartości między -1 i 1

20 Rachunek granic Granica niewłaściwa Granice jednostronne, jeżeli rozpatrywana funkcja jest funkcją elementarną i jeżeli wartość graniczna argumentu należy do dziedziny funkcji, to obliczanie granicy sprowadza się do podstawienia wartości granicznej argumentu jeżeli argument dąży do nieskończoności lub do liczby nie należącej do dziedziny, to w każdym z tych przypadków poszukiwanie granicy funkcji wymaga specjalnego badania.

21 Ciągłość funkcji - otoczenie Granica funkcji w punkcie Niech funkcjabędzie określona gdzie jest pewną liczbą dodatnią czyli na zbiorze., na pewnym otoczeniu Q punktu, Twierdzenie

22 Ciągłość funkcji - definicja Granica funkcji w punkcie Definicja: Funkcjęnazywa się ciągłąw punkcie wtedy i tylko wtedy, gdy. Można podać definicje wg Heinego i równoważne im definicje wg Cauchyego. Twierdzenie

23 Ciągłość funkcji - cd Granica funkcji w punkcie Definicja: Funkcjęnazywa się, ciągłą w punkciewtedy i tylko wtedy, gdy. albo (lewostronnie)prawostronnie Twierdzenie

24 Ciągłość funkcji - tw. Granica funkcji w punkcie Twierdzenie: Na to, by funkcja była ciągła w punkcie potrzeba i wystarcza, aby funkcja. była określona w punkcie : miała równe granice jednostronne miała wartość w punkcie równą granicom jednostronnym,, DefinicjaDefinicja cd

25 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Granica funkcji w punkcie Punkt nazywa się wtedy,.,Mówi się, że funkcja jest nieciągła w punkcie jeżeli jest określona dla punktów dowolnie bliskich punktu ale w samym punkcie nie spełnia któregokolwiek z punktem nieciągłości.warunków ciągłości

26 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie Granica funkcji w punkcie Definicja nieciągłości pierwszego rodzaju Definicja nieciągłości drugiego rodzaju Nieciągłość usuwalna

27 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja pierwszego rodzaju Granica funkcji w punkcie, Jeżeli istnieją jednostronne granice właściwew punkcie nieciągłości to taką nieciągłość nazywa się. nieciągłością pierwszego rodzaju,

28 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - definicja drugiego rodzaju Granica funkcji w punkcie, Jeżeli nie istnieją jednostronne granice właściwew punkcie nieciągłości to taką nieciągłość nazywa się. nieciągłością drugiego rodzaju,

29 Rodzaje nieciągłości funkcji w punkcie - nieciągłość usuwalna Granica funkcji w punkcie, Jeżeli jest punktem nieciągłościpierwszego rodzaju funkcji ma w punkcie. nieciągłość usuwalną, a ponadto, to mówi się, że funkcja Np.:.,

30 Przykłady Granica niewłaściwa Granice jednostronne a)., b).,

31 Przykład a Granica niewłaściwa Granice jednostronne. H

32 Przykład b Granica niewłaściwa Granice jednostronne.,

33 Wybrane twierdzenia Granica niewłaściwa Granice jednostronne Funkcje elementarne Funkcje nieelementarne Miejsce zerowe funkcji

34 Wybrane twierdzenia -1 Granica niewłaściwa Granice jednostronne Wszystkie funkcje elementarne są ciągłe w obszarze ich określoności, a punkty nieciągłości do tego obszaru nie należą.

35 Wybrane twierdzenia -2 Granica niewłaściwa Granice jednostronne Funkcja nieelementarna może mieć nieciągłości zarówno w punktach w których jest określona jak i w punktach, w których nie jest określona,.

36 Wybrane twierdzenia -3 Granica niewłaściwa Granice jednostronne Jeżeli funkcja jest oznaczona i ciągła w przedziale domkniętym i na końcach tego przedziału wartości i mają znaki różne co najmniej jedna taka wartość c jest równe zeru to między a i b istnieje, dla której,.


Pobierz ppt "Analiza matematyczna - Funkcje jednej zmiennej wykład II Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski."

Podobne prezentacje


Reklamy Google