Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I."— Zapis prezentacji:

1 1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I

2 2 Niezależne od czasu równanie Schrődingera dla atomu wodoru: Jeśli funkcja falowa zależy tylko od r, a nie zależy od współrzędnych kątowych mamy: przypadek, który rozpatrywaliśmy w wykładzie 6

3 3 W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych, równanie Schrődingera dla atomu wodoru (Z = 1) i jonów wodoropodobnych (Z > 1) przyjmie bardziej skomplikowaną postać: Podstawiając funkcję postaci:

4 4 otrzymamy: i w konsekwencji:

5 5 C jest wartością własną operatora: a z kolei funkcje Y, tworzące funkcje falowe atomu wodoru, są funkcjami własnymi operatora X. Żeby ustalić tożsamość operatora X, przeanalizujemy drugie równanie:

6 6 które przepiszemy w następującej postaci: jawnie pokazującej pochodzenie członów hamiltonianu: energia kinetyczna, potencjalna i ???. Dla klasycznej cząstki w polu siły centralnej, zachowana jest całkowita energia i moment pędu:

7 7 Rozkładając prędkość cząstki na składowe radialną i styczną otrzymamy: co ostatecznie można przedstawić w postaci:

8 8 Porównując otrzymane wyrażenie z hamiltonianem: widzimy, że operator X jest operatorem kwadratu momentu pędu: jest wartością własną tego operatora, C = (+1), a funkcja Y to jego funkcja własna; a także element macierzowy obrotów R y (θ) i R z ( ) (wykład 7):

9 9 Rozwiązanie równania: jest nam już znane (funkcje kuliste). Wykorzystujemy możliwość dalszej separacji: i otrzymujemy: ma rozwiązanie okresowe: a więc: m = 0, ±1, ±2, ±3…. Drugie równanie: odrzucamy m połówkowe; dla elektronu w określonym punkcie rzut momentu pędu na oś z przechodzącą przez ten punkt musi być równy 0. bo:

10 10 Interpretacja liczby kwantowej m co oznacza, że jest rzutem momentu pędu na oś z Udowodnimy, że: W tym celu liczymy: wykorzystując: Jeśli tak to:

11 11 Równanie na część biegunową będzie miało postać: Wprowadzamy nową zmienną: Ponieważ:

12 12 Ostatecznie: Jeśli przyjmiemy: otrzymamy tzw równanie różniczkowe Legendrea: oraz m = 0 którego rozwiązania, to tzw. wielomiany Legendrea:

13 13 Aby znaleźć współczynniki a k wstawiamy: do równania różniczkowego Legendrea: i otrzymujemy:

14 14 Pomijamy dwa pierwsze wyrazy w pierwszej sumie i przenumerowujemy ją, zastępując k przez k+2: Wszystkie współczynniki przy kolejnych potęgach muszą być równe 0, zatem:

15 15 Nieskończona suma dla ξ równego 1 dałaby nieskończoną wartość. Suma będzie skończona dla naturalnych. Dodatkowo musimy założyć zerowanie się jednego z dwóch wyrazów, a 0 lub a 1.

16 16 Można pokazać, że rozwiązaniami pełnego równania biegunowego: dla m różnego od 0, są tzw. stowarzyszone funkcje Legendrea: z postaci tych funkcji wynika, że będą one równe 0 dla:

17 17 Pełne rozwiązanie to tzw. funkcje kuliste zawierające część azymutalną i biegunową: Kilka pierwszych funkcji kulistych (harmonicznych): = 0 (s) = 1 (p) = 2 (d) = 3 (f)

18 18 Mamy zatem: gdzie: Zatem (+1)ħ 2 to kwadrat momentu pędu, a mħ jego rzut na oś z naturalne, m całkowite. Dla danego mamy 2 +1 wartości m (degeneracja)

19 19 Funkcje kuliste (harmoniki sferyczne): funkcje s ( = 0) brak zależności od kątów θ i φ, stała wartość

20 20 Y (0,0), funkcja s, = 0, m = 0

21 21 Y (1,0) funkcja p, = 1, m = 0 ~ cosθ

22 22 Y (1,1), funkcje p, = 1, m = ±1, ~sinθ

23 23 Y (2,0), funkcja d, = 2, m = 0 ~(3cos 2 θ-1)

24 24 Y (2,1), funkcje d, = 2, m = ±1, ~cosθsinθ

25 25 Y (2,2), funkcje d, = 2, m = ±2, ~sin 2 θ

26 26 Y (3,0), funkcje f, = 3, m = 0, ~cos 3 θ-cosθ

27 27 Y (3,1), funkcje f, = 3, m = ± 1, ~(5cos 2 θ-1)sinθ

28 28 Y (3,2), funkcje f, = 3, m = ± 2

29 29 Y (3,3), funkcje f, = 3, m = ± 3


Pobierz ppt "1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ I."

Podobne prezentacje


Reklamy Google