Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

04.10.14Reinhard Kulessa1 Wykład 4 1.5 Prędkość i przyśpieszenie c.d. 2. Przykłady ruchu 2.1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie 2.2 Ruch prostoliniowy.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "04.10.14Reinhard Kulessa1 Wykład 4 1.5 Prędkość i przyśpieszenie c.d. 2. Przykłady ruchu 2.1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie 2.2 Ruch prostoliniowy."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Prędkość i przyśpieszenie c.d. 2. Przykłady ruchu 2.1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie 2.2 Ruch prostoliniowy Ruch jednostajny 2.3 Ruch ze stałym przyśpieszeniem Rzut poziomy Ruch jednostajnie zmienny Rzut ukośny

2 Reinhard Kulessa2 Wiemy, że. Zachodzi więc: (1.13) (1.14) (1.15) Aby udowodnić, że a n jest prostopadłe do a t, musimy pokazać, że. Policzmy pochodną czasową z iloczynu i t · i t. ^^ (1.12)

3 Reinhard Kulessa3 Ze względu na to, że kwadrat wersora jest liczbą stałą, lewa strona równania jest równa zero. Oznacza to, że składniki iloczynu skalarnego muszą być wektorami prostopadłymi do siebie. Zachodzi więc:. Jeżeli tor w przedziale czasowym [t, t+dt] przybliżymy przez okrąg o promieniu, to. A B ds

4 Reinhard Kulessa4 ds jest torem zakreślonym w czasie dt. Ze względu na to, że wektor jest wektorem jednostkowym, mamy:. Możemy więc napisać:.. Równanie (1.15) na składową normalną przyśpieszenia możemy więc napisać jako:

5 Reinhard Kulessa5 Przypomnijmy więc, że przyśpieszenie możemy rozłożyć na dwie składowe, styczną i normalną do toru. a anan atat itit inin ^ ^ Mamy więc: (1.16)

6 Reinhard Kulessa6 2. Przykłady ruchu 2.1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie Głównym zadaniem kinematyki jest znalezienie przyszłej pozycji ciała i jego prędkości w oparciu o bieżące wartości pozycji, prędkości i przyśpieszenia. Znamy już odpowiednie równania, które pozwalają na określić dla określonego czasu t chwilowe wartości prędkości i przyśpieszenia. Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się opisem ruchu. (2.1) (2.2)

7 Reinhard Kulessa7 Bardzo często mamy do wykonania zadanie odwrotne. Znając przyśpieszenie ciała musimy znaleźć prędkość, położenie ciała, oraz równanie toru. W oparciu o równanie (2.2) przez operację całkowania znajdujemy prędkość. (2.3) Z kolei czyli, (2.3a) Każde z podanych równań wektorowych jest równoważne trzem równaniom skalarnym dla poszczególnych składowych wektorów prędkości, przyśpieszenia i położenia.

8 Reinhard Kulessa8 Sprowadza się to do całkowania równań skalarnych. Stałe całkowania C i C wyznacza się z tzw. warunków brzegowych, określających prędkość i położenie w chwili t Ruch prostoliniowy Jeżeli tor ruchu ciała jest linią prostą, to zawsze możemy tak dobrać układ współrzędnych, aby jedna z jego osi pokrywała się z torem. Zwykle wybiera się oś x. x r

9 Reinhard Kulessa9 Prędkość ciała i jego przyśpieszenie wynoszą odpowiednio:. Jeśli wektory przyśpieszenia i prędkości mają zwroty zgodne, mówimy o ruchu przyśpieszonym, a jeśli przeciwny mówimy o ruchu opóźnionym. Skalarna wartość prędkości (szybkość) jest równa. Równanie z prawej strony strzałki możemy scałkować.

10 Reinhard Kulessa10 (2.4) Jeśli zaczynamy badać ruch ciała w chwili t 0 i jeżeli zajmuje ono wtedy pozycję x 0, to możemy obliczyć całkę oznaczoną: (2.5) Znak prędkości zależy od tego, czy ciało porusza się w kierunku x, czy przeciwnie. Analogicznie mamy:. Wartość prędkości otrzymujemy z całkowania;

11 Reinhard Kulessa11 (2.6) Równocześnie z zależności otrzymujemy zależność;. Po scałkowaniu otrzymujemy: (2.7)

12 Reinhard Kulessa Ruch jednostajny Ruch jednostajny, jest to taki ruch, w którym prędkość jest stała, v=const. Ze wzoru (2.5) otrzymujemy; (2.8). x jest przebytą przez ciało drogą, którą zwykle oznaczaliśmy przez s. Wykres drogi od czasu ma więc postać:

13 Reinhard Kulessa13 s t x=x 0 + v(t-t 0 ) t0t0 x0x0

14 Reinhard Kulessa14

15 Reinhard Kulessa15 Ruch jednostajnie zmienny jest to ruch ze stałym przyśpieszeniem a = const. Gdy a > 0 ruch nazywamy przyśpieszonym, a gdy a < 0 ruch jest opóźniony Ruch jednostajnie zmienny

16 Reinhard Kulessa16 W celu wyliczenia prędkości z jaką porusza się ciało musimy rozwiązać równanie: (2.9)

17 Reinhard Kulessa17 Uzyskana w chwili t prędkość ciała poruszającego się ze stałym przyśpieszeniem jest liniową funkcją czasu. Jeśli chcemy policzyć drogę przebytą przez takie ciało, wstawiamy ostatnie wyrażenie do wzoru (2.8). Otrzymamy wynik:.

18 Reinhard Kulessa18 Wyliczając całki w ostatnim równaniu otrzymujemy: Po krótkich przekształceniach otrzymujemy: Droga w ruchu jednostajnie np. przyśpieszonym jest kwadratową funkcją czasu. Narysujmy drogę którą ciało przebywa w czasie t przy założeniu, że t 0 = 0. (2.9a)

19 Reinhard Kulessa19 t s=x x0x0 v0tv0t 1/2at 2

20 Reinhard Kulessa Ruch ze stałym przyśpieszeniem Pamiętamy, że dla ogólnego przypadku ruch jest opisany wzorami (2.1) i (2.2). Całkując te wyrażenia otrzymujemy wyrażenia: (2.10) (2.11) Jednym z najczęstszych obserwowanych ruchów jest ruch w pobliżu powierzchni Ziemi z przyśpieszeniem g=const. Rozważmy następujący przypadek.

21 Reinhard Kulessa21 x y g = -g i y v0v0 H W polu ciężkości na wysokości H wyrzucamy pod kątem do poziomu z prędkością v 0 jakieś ciało. Możemy tu rozróżnić następujące przypadki:

22 Reinhard Kulessa22 1.H=0 =90 0 v 0 0 rzut pionowy 2. H 0 =0 0 v 0 0 rzut poziomy 3. H 0 =-90 0 spadek swobodny 4.H=0 H 0 >0 <0 v 0 0 rzut ukośny Tabela 1

23 Reinhard Kulessa Rzut poziomy Rzut ten jest przypadkiem 2 w Tabeli 1. Zajmijmy się następującym problemem. Kula armatnia została wystrzelona poziomo ze stałą prędkością v 0x =100 m/s. Kula spadła na ziemię w odległości 1200 m od miejsca wystrzelenia. Pytamy się o długość drogi pionowej jaką przebyła kula przy zaniedbaniu oporu powietrza. x y x = 1200 m y = ?

24 Reinhard Kulessa24 Ponieważ ruch poziomy jest ruchem jednostajnym, odległość jaką pocisk przebył znajdujemy z wzoru (2.8). Zakładając, że x 0 = 0, oraz t 0 = 0, mamy: x = v 0x t, czyli t=x/v 0x =1200m/100m/s = 12 s. Zauważmy, że rozważaliśmy ruch poziomy niezależnie od ruchu pionowego aby wyznaczyć czas lotu kamienia. Ruch pionowy jest spadkiem swobodnym, dla którego mamy: v 0y = 0 oraz a y =-g =-9.81 m/s 2. Z równania (2.9a) dla ruchu w kierunku osi y mamy y = -1/2 g t 2 = -1/2 · 9.81 m/s · (12m) 2 = m Zauważmy, że rozważaliśmy ruch pionowy niezależnie od ruchu poziomego aby wyznaczyć wysokość spadku kamienia. Niezależność tych dwóch ruchów implikuje, że pocisk przy v 0x = 0 w czasie 12 s spadnie o m.

25 Reinhard Kulessa25 Policzmy jeszcze trajektorię ruchu. Skorzystamy z równania (2.9a), oraz wyliczonego czasy ruchu t=x/v 0x. Dla ruchu wzdłuż osi y z podanym czasem ruchu i warunkiem t 0 = 0, otrzymujemy: (2.12). Jest to równanie paraboli. Ogólnie można powiedzieć, że paraboliczna trajektoria jest charakterystyczna dla ruchów ze stałym przyśpieszeniem. Składowe ruchu możemy traktować niezależnie zgodnie z zasadą niezależności ruchu.

26 Reinhard Kulessa26 Prędkość początkowa Wysokość początkowa Ta sama prędkość początkowa z różnych wysokości Ta sama wysokość, różne prędkości początkowe

27 Reinhard Kulessa Rzut ukośny Jest to przypadek, dla którego zgodnie z Tabelą 1, H = 0 lub H 0, 0 < < 90 0, v 0 0. y x v0v0 Składowe prędkości początkowej wynoszą:

28 Reinhard Kulessa28 Wstawiając te wartości do wzoru (2.12) otrzymujemy: (2.13) Wiemy przy tym, że a y = -g. Mamy więc równanie typu: Ciało w rzucie ukośnym porusza się więc po paraboli. Wiemy, że w rzucie ukośnym parametryczne równania ruchu są zapisane następująco:

29 Reinhard Kulessa29 (2.14) Rzut ukośny charakteryzują następujące wielkości: 1.Zasięg rzutu, 2.Maksymalna wysokość Zasięg rzutu otrzymamy licząc odległość poziomą x dla y=0. Równanie to ma dwa rozwiązania:

30 Reinhard Kulessa30 Maksymalną wysokość rzutu otrzymamy licząc maksimum funkcji przedstawiającej równanie toru, czyli dla dy/dx=0. Otrzymujemy więc:. Podstawiając wyrażenie na x do równania (2.13), otrzymujemy na maksymalną wysokość poruszającego się rzutem ukośnym wartość:. Widzimy z podanych wzorów, że zarówno maksymalny zasięg rzutu jak i maksymalna wysokość rzutu zależą od wartości i kierunku prędkości początkowej.

31 Reinhard Kulessa31 Wysokość rz.: Zasięg rz.: Tor ruchu przedstawia przesuniętą parabola o współrzędnych wierzchołka:

32 Reinhard Kulessa32 Zarówno w rzucie poziomym jak i ukośnym wyrzucaliśmy ciało ze stałą prędkością początkową. Wiedząc, że w kierunku pionowym działa przyśpieszenie ziemskie g, możemy rozważyć jakie są składowe tego przyśpieszenia. Rysując część toru ciała w rzucie ukośnym mamy: v vxvx vyvy g anan atat Zauważmy, że w każdym punkcie toru zachodzi:. Przy czym:. W najwyższym punkcie toru a t = 0, a a n = g.

33 Reinhard Kulessa33 Należy jeszcze wspomnieć o szczególnym przypadku rzutu ukośnego, a mianowicie rzutu pod kątem = 90 0 z prędkością początkową v 0. Taki przypadek nazywamy rzutem pionowym. v0v0 v = g t Przebywana w czasie t droga wynosi: gttvs Maksymalną wysokość uzyskamy z warunku. Czas ruchu ciała do maksymalnej wysokości h wynosi więc:, a uzyskana maksymalna wysokość.


Pobierz ppt "04.10.14Reinhard Kulessa1 Wykład 4 1.5 Prędkość i przyśpieszenie c.d. 2. Przykłady ruchu 2.1 Kinematyczne równania ruchu i ich całkowanie 2.2 Ruch prostoliniowy."

Podobne prezentacje


Reklamy Google