Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna WYKŁAD 7 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna WYKŁAD 7 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna WYKŁAD 7 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012

2 Plan wykładu twierdzenie Rollea, twierdzenie Lagrangea, reguła de LHospitala, twierdzenie Cauchyego, rozwinięcie Taylora funkcji.

3 Twierdzenie Rollea Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - jest ciągła na [a,b]; - ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b); - f(a)=f(b), to istnieje punkt taki, że

4 Twierdzenie Rollea Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

5 Twierdzenie Lagrangea Jeżeli funkcja f spełnia warunki: - jest ciągła na [a,b]; - ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a,b); to istnieje punkt taki, że:

6 Twierdzenie Lagrangea Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

7 Monotoniczność funkcji Jeżeli dla każdego, gdzie I jest dowolnym przedziałem, funkcja f spełnia warunek: to jest stała na I ; to jest rosnąca na I ; to jest niemalejąca na I ; to jest malejąca na I ; to jest nierosnąca na I (warunki wystarczające).

8 Tożsamości i nierówności Niech funkcje f i g będą określone na przedziale oraz niech Wtedy, jeżeli spełnione są warunki: - - dla każdego to:

9 Tożsamości i nierówności Niech funkcje f i g będą ciągłe na przedziale oraz niech Wtedy, jeżeli spełnione są warunki: - - dla każdego to: dla każdego

10 Twierdzenie Cauchyego Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: - są ciągłe na [a,b]; - mają pochodne właściwe lub niewłaściwe na (a,b); - dla każdego to istnieje punkt taki, że:

11 Twierdzenie Cauchyego Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

12 Reguła de LHospitala Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: - przy - istnieje granica (właściwa lub niewł.) to:

13 Reguła de LHospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

14 Reguła de LHospitala Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki: - - istnieje granica (właściwa lub niewł.) to:

15 Reguła de LHospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

16 Reguła de LHospitala Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

17 Rozwinięcie Taylora funkcji Niech funkcja f ma w punkcie x 0 pochodną właściwą k-tego rzędu, gdzie Wielomian: nazywamy wielomianem Taylora k-tego rzędu funkcji f w punkcie x 0. Oznaczamy go: P k (x).

18 Rozwinięcie Taylora funkcji Wzór Taylora z resztą Lagrangea Jeśli funkcja f ma - ciągłą pochodną rzędu n-1 na przedziale [x 0,x]; - pochodną właściwą f (n) na przedziale (x 0,x), to istnieje punkt taki, że: gdzie n-ta reszta Lagrangea:

19 Rozwinięcie Taylora funkcji Możemy także napisać: gdzie:

20 Rozwinięcie Taylora funkcji W przypadku x 0 =0 wzór Taylora przyjmuje postać wzoru Maclaurina: gdzie: dla x>0 lub dla x<0.

21 Rozwinięcie Taylora funkcji Źródło: M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1, definicje, twierdzenia, wzory, GiS, Wrocław 2004.

22 Rozwinięcie Taylora funkcji Niech funkcja f spełnia założenia twierdzenia Taylora oraz niech R n (t) 0 dla każdego Wtedy: dla każdego


Pobierz ppt "Analiza matematyczna WYKŁAD 7 Twierdzenia o funkcjach z pochodnymi III. Funkcje Krzysztof KucabRzeszów, 2012."

Podobne prezentacje


Reklamy Google