Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane.

Коpie: 3
Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe: około 86°

Inny przykład: W jednorodnym polu elektrycznym znajduje się nieskończenie długa rura izolacyjna o przenikalności. Rura jest ustawiona w ten sposób, że.

Przykład: Dana jest linia długa o długości L 0 bez strat o stałych kilometrycznych L,C.Na początku linii zostaje załączona siła elektromotoryczna e(t),

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane."— Zapis prezentacji:

1

2 Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane operatorem L: w obszarze i warunki brzegowe:

3 XkXk W metodach różnicowych poszukuje się tablicy wartości przybliżonych u h rozwiązania dokładnego u na zbiorze izolowanych punktów X k (k=1,2,...,N h ) zwanym siatką. Punkty X k są nazywane węzłami siatki. węzeł pomocniczy węzeł podstawowy Równania służące do wyznaczania wartości przybliżonych nazywamy równaniami różnicowymi. x y hxhx hyhy h=(h x,h y ) Parametr h charakteryzuje siatkę h

4 Dla równania różniczkowego: w obszarze z warunkami brzegowymi: otrzymujemy jego odpowiednik różnicowy: Zakładając, że problem opisany równaniem różniczkowym ma jednoznaczne rozwiązanie, to równania różnicowe będą jego odpowiednikiem jeżeli są spełnione następujące warunki:

5 1. Układ równań różnicowych posiada jednoznaczne rozwiązanie: dla każdego dopuszczalnego h. 2. Zbieżność do rozwiązania dokładnego u. Oznacza to, że rozwiązanie u h powinno przy h 0 dążyć do rozwiązania dokładnego u. Dla określenia zbieżności jest koniecznym wprowadzenie odpowiednich przestrzeni funkcyjnych i norm w nich.

6 Wprowadzamy przestrzeń funkcyjną U z normą || || U, do której należy rozwiązanie dokładne u. oraz przestrzeń N h - wymiarową U h z normą || || Uh, której elementami są układy N h liczb i do której należy rozwiązanie u h. Normy || || U i || || Uh winny być zgodne, tzn. ponieważ funkcja u(x) jest określona w węzłach podstawowych X k siatki, to mówimy, że normy są zgodne jeżeli zachodzi: dla każdego u U.

7 Przykłady norm zgodnych: - zbiór węzłów wewnętrznych.

8 Wielkość: nazywamy błędem rozwiązania przybliżonego u h. U h dąży do rozwiązania dokładnego u(x), jeżeli Jeżeli można znaleźć taką funkcję (h), że to mówimy, że zostało znalezione oszacowanie błędu.

9 3. Stabilność Różnicowe zagadnienie brzegowe jest stabilne, jeżeli istnieją takie liczby >0 i h 0 >0, że dla dowolnych h

10 Twierdzenie wiążące stabilność i zbieżność: Jeżeli zadanie różnicowe jest przybliżeniem różniczkowego problemu brzegowego: i rozwiązanie u h jest stabilne wtedy zachodzi i rząd zbieżności w funkcji h jest taki sam jak rząd aproksymacji.

11 Zastępowanie pochodnych ilorazami różnicowymi na siatce prostokątnej i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk

12 i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Druga pochodna dodając stronami:

13 i-1 i i+1 k-1 k k+1 hihi hkhk Dla pochodnej mieszanej

14 Konstrukcja warunków brzegowych na siatce i k 1. Przeniesienie wartości: Przyjmujemy: r(i,k, ) lub

15 2. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Dirichleta i,k i-1,k i+1,k h Zakładając liniowy rozkład rozwiązania między sąsiednimi węzłami mamy: i dla x=x i + mamy:

16 3. Interpolacja liniowa dla warunku brzegowego Neumanna. n i,k i-1,k i,k-1 hkhk hihi

17 Równania eliptyczne Dla uproszczenia rozważań będą analizowane przypadki dwuwymiarowe x=(x,y) Warunki brzegowe:

18 x(i) y(k) hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

19 Dla węzłów wewnętrznych będzie: jj+1 j-1 l p lub w formie macierzowej:

20 hyhy hxhx (0,0) jj+1 j-1 l p

21 styczna normalna p Przyjmując: (xk p,yk p ) p-1 m otrzymujemy:

22 Uwaga dotycząca błędu obliczeń. Generalnie jeżeli węzły nie leżą na krzywej brzegowej i liczymy metodą przeniesienia wartości, to dokładność obliczeń jest rzędu h. Jeżeli węzły na krzywej brzegowej bądź wyliczamy wartości funkcji brzegowej interpolując liniowo dokładność wzrasta do h 2. W zagadnieniu Dirichleta oprócz trudności z wyznaczeniem wartości brzegowych nie ma innych problemów i otrzymany układ równań algebraicznych najczęściej można rozwiązać bez kłopotów. Sytuacja może się komplikować przy zagadnieniu Neumanna. Siatki praktycznie nie stosowane w zagadnieniach eliptycznych liniowych i nieliniowych.

23 Równania opisujące ewolucję układu w czasie Równania paraboliczne Dane jednowymiarowe równanie przewodnictwa: x t 0 1h i-1i i+1 k+1 k k-1

24 x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 Oznaczamy operator różnicy II rzędu: i wprowadzamy schematy różnicowe z wagą : i

25 Problem brzegowy jest aproksymowany przez dla i=1,2,...N dla k=1,2,...,K. Warunki zgodności

26 k+1 k i-1 i i+1 Schemat sześciowęzłowy Jeżeli =0 schemat jest nazywany jawnym lub explicite k+1 k i-1 i i+1 Jeżeli 0 schemat jest nazywany niejawnym lub implicite k+1 k i-1 i i+1

27 k+1 k i-1 i i+1 Wartości w warstwie k+1 otrzymujemy rozwiązując układ równań: Czysto niejawny schemat: k+1 k i k+1 k i-1 i i+1 Schemat Cranka - Nicholsona:

28 Oszacowanie dokładności aproksymacji. Rozwiązanie dokładne zagadnienia brzegowego jest u(x,t) i jego wartość w węzłach (x i,t k ) siatki będzie oznaczana u(i,k). Rozwiązanie zagadnienia brzegowego sformułowanego dyskretnie jest Błąd aproksymacji jest

29 Dla oceny błędu w kroku k-tym wprowadza się normę, np.: lub Z wynika, że i podstawiając do w miejsce otrzymujemy równoważne zadanie różnicowe dla

30 gdzie błąd schematu różnicowego w stosunku do rozwiązania dokładnego u(x,t).

31 Mówimy, że przybliża rozwiązanie problemu brzegowego z dokładnością rzędu (m,n) lub O(h m + n ), jeżeli spełnia nierówność: gdzie M - stała.

32 Dla uproszczenia zapisu wprowadzamy: i mamy: Uwzględniając powyższe równości i podstawiając do

33 mamy Rozwijając funkcje u(n,p) w szereg Taylora w otoczeniu punktu: x i,t k +0.5 oraz wprowadzając oznaczenie: Będziemy mieli:

34 Uwzględniając powyższe zależności można zapisać w postaci:

35 Ale gdyż u jest rozwiązaniem dokładnym i w każdym punkcie obszaru spełnia równanie paraboliczne. Uwzględniając, żemamy

36 Jeżeli wyrażenie w nawiasie kwadratowym jest równe zeru, tzn.: oraz W obliczeniach numerycznych wygodniej przyjąć: to schemat ma dokładność O(h )

37 Schemat: z jest schematem o podwyższonej dokładności wynoszącej: Jeżeli =0.5 jak w schemacie Cranka-Nicholsona, to

38 i dla =0.5 mamy: Dla zachowania oceny zbieżności O(h ) należy przyjąć: lub Jeżeli 0.5 i *, to dokładność obliczeń jest rzędu O(h 2 + ).

39

40 Stabilność Zbadamy zachowanie się schematu: jawnego tj. =0

41 Schemat jest Przyjmijmy: i załóżmy, że warunek początkowy w punkcie i-tym jest dany z błędem. Badamy jak przenosi się błąd na siatce.

42 x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i

43 x t 0 N 0 Schemat jawny z =0 i Obliczenia z dokładnością do 2 miejsc

44 Analiza stabilności metodą spektralną Niech rozwiązanie jednorodnego zagadnienia różnicowego: ma postać gdzie

45 ale Po podstawieniu do mamy

46 Po podzieleniu przez otrzymujemy równanie: Warunek konieczny stabilności Neumanna stwierdza, że schemat różnicowy jest stabilny, jeżeli Dla =0 mamy

47 i na podstawie kryterium Neumanna otrzymujemy: czyli Dla = znajdujemy warunek na stosunek: Warunkiem zbieżności schematu jawnego jest spełnienie powyższego warunku. Warunek jest również prawdziwy dla schematu jawnego w przypadku wielowymiarowego równania parabolicznego.

48 Dowolne >0. Ocenę prowadzimy przy =. czyli Prawa nierówność jest spełniona dla dowolnych, a z lewej mamy:

49 Dla spełniających nierówność: warunek: jest spełniony dla dowolnego stosunku W szczególności schemat Cranka-Nicholsona =0.5 jest stabilny dla dowolnego stosunku kroków

50 Dla schematu o podwyższonej dokładności mamy bo Przedstawione rozważania można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe jak również na równania o zmiennych współczynnikach. W przypadku równań wielowymiarowych ocena zbieżności zależy również od sposobu aproksymacji warunków brzegowych podobnie jak w przypadku równań eliptycznych.

51 Równania hiperboliczne Jako przykład zostanie rozpatrzone równanie linii długiej bez strat o długości L. Dla napięcia u mamy: Wprowadzamy siatkę prostokątną:

52 x t 0 Nh i-1i i+1 k+1 k k-1 i funkcję węzłową oznaczamy: Przyjmujemy aproksymację pochodnych: i

53 i rozpatrujemy następujący schemat trójwarstwowy z parametrem >0: gdzie warunek początkowykonstruujemy tak, aby zachować rząd aproksymacji O( 2 ).

54 Mamy czyli Z równania falowego mamy: Warunek początkowy dla pierwszej pochodnej będzie określony z dokładnością O(h ), jeżeli przyjąć, że czyli

55 Ostatecznie schemat różnicowy dla rozwiązania równania falowego jest Ocena dokładności aproksymacji Postępujemy podobnie jak poprzednio, a więc niech

56 gdzie jest rozwiązaniem różnicowego zagadnienia a u(x i,t k ) jest rozwiązaniem problemu brzegowego: w punkcie x i,t k.

57 Piszącotrzymujemy: gdzie Z konstrukcji warunku początkowego dla pochodnej wynika, że

58 Rozwijając w szereg Taylora mamy: Korzystając z otrzymanego wyniku mamy: Stąd otrzymujemy z dokładnością do małych 4-go rzędu:

59 Podobnie z dokładnością do małych 4-go rzędu. Ostatecznie otrzymujemy ocenę błędu: Funkcja u spełnia równanie falowe, a więc stąd niezależnie od !!!

60 Oznacza to również zależność odwrotną, a mianowicie dobór zależy tylko i wyłącznie od stabilności, a nie ma wpływu na dokładność obliczeń. Stabilność Analizujemy stabilność schematu różnicowego przy jednorodnych warunkach brzegowych:

61 Przyjmujemy rozwiązanie w postaci: i podstawiając do równania różnicowego: po wykonaniu kilku przekształceń otrzymujemy: Dzieląc równanie przez k-1 i grupując wyrazy otrzymujemy równanie określające :

62 Badamy pierwiastki równania: gdzie przy =. Wyróżnik: Jeżeli <0, to równanie ma dwa sprzężone pierwiastki zespolone 1, 2 o module równym 1 co wynika ze wzoru Viety: Dla =0 otrzymujemy warunek Couranta:

63 który oznacza, że prędkość wędrówki fali na siatce h/ jest większa od prędkości fazowej. Przypadek 0 prowadzi do pierwiastków większych co do modułu od jedności i dlatego należy te przypadki odrzucić. Analizę można rozszerzyć na przypadki wielowymiarowe.

64 Wady i zalety metody różnicowej Zalety: 1. Proste konstruowanie siatki podziałowej. 2. Prosta konstrukcja układu równań różnicowych szczególnie w środowiskach izotropowych. 3. Opracowane oceny błędów metody i warunki stabilności. Wady: 1. Duże trudności z dobrą aproksymacją brzegu lub wymuszony mały krok siatki. 2. Trudności z utrzymaniem rzędu aproksymacji przy interpolacji warunków brzegowych. 3. Praktycznie konieczność obliczania całego obszaru z tym samym krokiem podziałowym.


Pobierz ppt "Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych cząstkowych Metoda różnic skończonych (siatek) Uwagi ogólne Dane równanie różniczkowe cząstkowe opisane."

Podobne prezentacje


Reklamy Google