Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

30 marca 2007 JAKUB PAWLIK MARCIN PERZANOWSKI METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "30 marca 2007 JAKUB PAWLIK MARCIN PERZANOWSKI METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0."— Zapis prezentacji:

1 30 marca 2007 JAKUB PAWLIK MARCIN PERZANOWSKI METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0

2 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Plan prezentacji: - Wstęp - Drgania swobodne struny zamocowanej - Drgania wymuszone struny zamocowanej I II

3 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Równanie struny: Równanie to jest równaniem różniczkowym 2 rzędu, cząstkowym, liniowym, hiperbolicznym I

4 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Przy braku siły wymuszającej ruch czyli dla: Oraz przy warunkach brzegowych: Na brzegu struny nie ma drgań (końce struny zamocowane są na stałe): DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ I

5 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Równanie struny przybiera postać: I

6 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Metoda Fouriera = metoda rozdzielania zmiennych Przewiduje się rozwiązanie postaci Gdzie szukaną funkcję przedstawia się jako iloczyn X(x) i T(t) Zależnych tylko od jednej zmiennej każda (wybieramy po prostu takie rozwiązania, które nam odpowiadają) I

7 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Przewidywane rozwiązanie postaci: różniczkujemy po zmiennych x i t i otrzymujemy I

8 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Otrzymane zależności wstawiamy do równania struny: Równanie struny Równanie o zmiennych rozdzielonych Dla rozwiązania musi zachodzić ponadto : I

9 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Przyjmiemy, że lewa i prawa strona równają się stałej ujemnej (dla stałej dodatniej lub równej 0 otrzymamy rozwiązania trywialne): przekształcając I

10 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Otrzymaliśmy dwa równania drugiego rzędu, liniowe, zwyczajne o stałych współczynnikach Równania charakterystyczne: I

11 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Otrzymane rozwiązanie ogólne jest więc postaci : I

12 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Rozwiązanie to musi spełniać warunki brzegowe: 1) By równość była spełniona A=0 Bo dla C=D=0 dostajemy rozwiązanie trywialne 2) Dla B=0 otrzymujemy rozwiązanie trywialne, więc: I

13 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Dla takiego ciągu spełnione będą warunki brzegowe: Wprowadźmy nowe stałe: Dla tak zdefiniowanych stałych rozwiązanie ma postać: Każda z tych funkcji przy dowolnych nowo zdefiniowanych stałych spełnia warunki brzegowe I

14 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Więc niech: Zakładać będziemy, że powyższy szereg można rózniczkować wyraz po wyrazie w sposób ciągły względem obydwu zmiennych w: Wynika z tego, że: I

15 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Aby znaleźć stałe An i Bn należy założyć jakieś warunki początkowe (które my na początku pominęliśmy) Warunki początkowe: więc Obliczając: Mamy: I

16 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 oraz: Mamy w pełni zdefiniowane warunki początkowe I

17 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Rozwijając współczynniki An i Bn w szeregi Fouriera otrzymujemy: I

18 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Czyli ostateczne rozwiązanie jest dane w postaci: Po podstawieniu otrzymanych stałych otrzymujemy Strasznie wyglądający wzór: I

19 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 I

20 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 W tym przypadku uwzględniamy dodatkowo siłę wymuszającą ruch, czyli : Oraz przy warunkach brzegowych: DRGANIA SWOBODNE STRUNY ZAMOCOWANEJ II

21 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 II Załóżmy, że funkcjędla pewnego przedziału : możemy zapisać w postaci sinusowego szeregu Fouriera względem zmiennej x :

22 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 gdzie : II oraz Zatem rozwiązania ogólnego równania struny poszukujemy w postaci : gdzie T n (t) są niewiadomymi funkcjami.

23 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Zakładając, że dozwolone jest różniczkowanie tego szeregu wyraz po wyrazie, korzystając z ψ(x,t) przedstawionej w postaci szeregu podstawiamy wszystko do równania struny : II gdzie, a więc :

24 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 Wiemy z warunków początkowych, że : II dla Korzystając z tej zależności możemy ostatecznie napisać : gdzie

25 Jakub Pawlik, Marcin Perzanowski Metoda Fouriera dla jednorodnych warunków brzegowych 30 marca 2007 II


Pobierz ppt "30 marca 2007 JAKUB PAWLIK MARCIN PERZANOWSKI METODA FOURIERA DLA JEDNORODNYCH WARUNKÓW BRZEGOWYCH f(0)=f(a)=0."

Podobne prezentacje


Reklamy Google