Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski [wersja z 15 III.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski [wersja z 15 III."— Zapis prezentacji:

1 1 Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski [wersja z 15 III 2007]

2 2 Różniczkowalność

3 3 Pochodna funkcji jednej zmiennej

4 4 Interpretacja geometryczna pochodnej – styczna w punkcie x 0 ma nachylenie

5 5 o małe, O duże,...

6 6

7 7 Obliczanie pochodnych

8 8 Wyprowadzenia:

9 9

10 10

11 11 Przykłady: Od wewnątrz do zewnątrz Od zewnątrz do wewnątrz Różniczkowanie po obu stronach

12 12 Styczna do krzywej Znajdź styczną do okręgu w pkt. A Różniczkowanie po obu stronach Wartość pochodnej Równanie stycznej z parametrem b Wyznaczenie b – pkt. A należy do stycznej Równanie stycznej

13 13 Kąt przecięcia krzywych Krzywa parametryczna

14 14 Funkcja pochodna Funkcja pochodna przyporządkowuje punktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodnej funkcji w tym punkcie

15 15

16 16 Pochodne wyższych rzędów Jeśli funkcja f jest różniczkowalna, to możemy zdefiniować jej pochodną, itd.

17 17 Wzór Leibniza

18 18 Tw. o ekstremach

19 19 Tw. Rollea Kontrprzykłady: funkcja nieciągła i nieróżniczkowalna

20 20 Tw. Cauchyego Tw. Lagrangea (prędkość średnia i chwilowa)

21 21 Przykład (tw. Lagrangea):

22 22 Tw. Taylora

23 23 Znaczenie tw. Taylora: dość łatwe przybliżanie funkcji n-krotnie różniczkowalnych wielomianem stopnia n-1. Dla regularnych funkcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładniejsza, im większe jest n.

24 24 (RR) Przybliżanie funkcji exp(x-1) z pomocą wzoru Taylora dla kolejnych n

25 25 f(x)=sin(x) n=5 n=1 n=10 n=20

26 26 Szereg (rozwinięcie) Taylora

27 27 Przykład funkcji mającej wszystkie pochodne i nie posiadającej rozwinięcia Taylora wokół x=0: exp(-1/x 2 ). Pochodne nie są ograniczone! Wszystkie pochodne w x=0 znikają. f(x)

28 28

29 29 Funkcje hiperboliczne

30 30 cosh sinh tanh=sinh/cosh

31 31 Tw. o ekstremach

32 32

33 33 Wypukłość

34 34 Reguła de LHospitala

35 35

36 36

37 37 Badanie funkcji 0) Dziedzina 1)Miejsca zerowe 2)Parzystość, nieparzystość, okresowość 3)Ciągłość, granice w punktach nieciągłości i na krańcach przedziałów określoności 4)Asymptoty 5)Różniczkowalność 6)Monotoniczność i ekstrema 7)Druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia 8)Tabela przebiegu funkcji 9)Szkic wykresu 10)Przeciwdziedzina (kolejność dowolna!)

38 38

39 39 Całkowanie

40 40 Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna) Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do stałej, tzn. jeśli F(x) jest funkcją piewrotną, to F(x)+C jest również funkcją pierwotną, ponieważ (F(x)+C)=F(x)=f(x). Całkowanie: operacja odwrotna do różniczkowania

41 41

42 42 Całkowanie przez części

43 43 Całkowanie przez podstawienie

44 44

45 45 Wzory rekurencyjne (użyteczne w wielu obliczeniach)

46 46 Całkowanie funkcji wymiernych

47 47 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

48 48

49 49 Całkowanie funkcji niewymiernych podstawienia Eulera

50 50 Całka oznaczona Riemanna

51 51

52 52

53 53

54 54 Zastosowania całek Geometria: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Miara Jordana (fiz.) zbioru (tu: 2-wymiarowego): 1) otaczamy zbiór ograniczony A prostokątem S o bokach a,b 2) dzielimy S na n 2 mniejszych prostokątów jak na rysunku (pole każdego prostokąta wynosi ab/n 2 3) zliczamy wszystkie prostokąty zawarte w A i oznaczamy ich pole jako s n 4) zliczamy wszystkie prostokąty, które zawierają jakiś punkt zbioru A i oznaczamy ich pole jako S n 6) Jeżeli s*=S*=P, to A jest mierzalny w sensie Jordana, a P nazywamy jego polem Uwaga: miara Jordana brzegu, S*-s*, wynosi 0 dla zbioru mierzalnego

55 55 Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Jordana Inne: trójkąt Sierpińskiego, fraktale (przejście graniczne z liczbą wierzchołków przed pomiarem w sensie Jordana)

56 56 Uwagi: W trzech wymiarach konstrukcja miary Jordana jest analogiczna – używamy prostopadłościanów. W większej liczbie wymiarów używamy hiperkostek. W jednym wymiarze (do pomiaru zbioru leżącego na prostej) używamy odcinków. Przy zmianie skali długości, L, pole zmienia się jak L 2, objętość jak L 3, hiperobjętość jak L d, gdzie d jest liczbą wymiarów przestrzeni

57 57 Pole figury płaskiej Dowód wynika natychmiast z analogii konstrukcji miary Jordana i całki Riemanna

58 58

59 59

60 60 Objętość bryły obrotowej

61 61 Pole pobocznicy bryły obrotowej

62 62 Długość krzywej

63 63 Całki niewłaściwe

64 64

65 65 Kryterium całkowe zbieżności szeregu Podstawowa idea:

66 66

67 67

68 68 Stała Eulera-Mascheroniego Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierną czy niewymierną! Występuje w wielu całkach i szeregach, np.

69 69 Granica pod całką

70 70

71 71 Różniczkowanie po parametrze Bardzo użyteczna sztuczka!

72 72 Całkowanie funkcji oscylujących


Pobierz ppt "1 Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski [wersja z 15 III."

Podobne prezentacje


Reklamy Google