Analiza Matematyczna część 3

Prezentacja na temat: "Analiza Matematyczna część 3"— Zapis prezentacji:

1 Analiza Matematyczna część 3
[wersja z 15 III 2007] Analiza Matematyczna część 3 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2006/2007 Wojciech Broniowski

2 Różniczkowalność

3 Pochodna funkcji jednej zmiennej

4 Interpretacja geometryczna pochodnej – styczna w punkcie x0 ma nachylenie a

5 o małe, O duże, ...

6

7 Obliczanie pochodnych

8 Wyprowadzenia:

9

10

11 Przykłady: Od wewnątrz do zewnątrz Od zewnątrz do wewnątrz Różniczkowanie po obu stronach

12 Styczna do krzywej Znajdź styczną do okręgu w pkt. A
Różniczkowanie po obu stronach Wartość pochodnej Równanie stycznej z parametrem b Wyznaczenie b – pkt. A należy do stycznej Równanie stycznej

13 Kąt przecięcia krzywych
Krzywa parametryczna

14 Funkcja pochodna Funkcja pochodna przyporządkowuje
punktowi z przedziału otwartego (a,b) wartość pochodnej funkcji w tym punkcie

15

16 Pochodne wyższych rzędów
Jeśli funkcja f’ jest różniczkowalna, to możemy zdefiniować jej pochodną, itd.

17 Wzór Leibniza

18 Tw. o ekstremach

19 Tw. Rolle’a Kontrprzykłady: funkcja nieciągła i nieróżniczkowalna

20 Tw. Cauchy’ego Tw. Lagrange’a (prędkość średnia i chwilowa)

21 Przykład (tw. Lagrange’a):

22 Tw. Taylora

23 Znaczenie tw. Taylora: dość łatwe przybliżanie funkcji n-krotnie różniczkowalnych wielomianem stopnia n-1. Dla „regularnych” funkcji reszta jest mała i metoda jest tym dokładniejsza, im większe jest n.

24 (RR) Przybliżanie funkcji exp(x-1) z pomocą wzoru Taylora dla kolejnych n

25 f(x)=sin(x) n=1 n=5 n=10 n=20

26 Szereg (rozwinięcie) Taylora

27 Przykład funkcji mającej wszystkie pochodne i nie posiadającej
rozwinięcia Taylora wokół x=0: exp(-1/x2). Pochodne nie są ograniczone! Wszystkie pochodne w x=0 znikają. f’’’(x) f’’(x) f’(x)

28

29 Funkcje hiperboliczne

30 cosh sinh tanh=sinh/cosh

31 Tw. o ekstremach

32

33 Wypukłość

34 Reguła de L’Hospitala

35

36

37 Badanie funkcji 0) Dziedzina Miejsca zerowe
Parzystość, nieparzystość, okresowość Ciągłość, granice w punktach nieciągłości i na krańcach przedziałów określoności Asymptoty Różniczkowalność Monotoniczność i ekstrema Druga pochodna, wypukłość, punkty przegięcia Tabela przebiegu funkcji Szkic wykresu Przeciwdziedzina (kolejność dowolna!)

38

39 Całkowanie

40 Całka nieoznaczona (funkcja pierwotna)
Funkcja pierwotna określona jest z dokładnością do stałej, tzn. jeśli F(x) jest funkcją piewrotną, to F(x)+C jest również funkcją pierwotną, ponieważ (F(x)+C)’=F’(x)=f(x). Całkowanie: operacja odwrotna do różniczkowania

41

42 Całkowanie przez części

43 Całkowanie przez podstawienie

44

45 Wzory rekurencyjne (użyteczne w wielu obliczeniach)

46 Całkowanie funkcji wymiernych

47 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

48

49 Całkowanie funkcji niewymiernych
podstawienia Eulera

50 Całka oznaczona Riemanna

51

52

53

54 Zastosowania całek Geometria: pole figury, objętość bryły, długość krzywej Miara Jordana (fiz.) zbioru (tu: 2-wymiarowego): 1) otaczamy zbiór ograniczony A prostokątem S o bokach a,b 2) dzielimy S na n2 mniejszych prostokątów jak na rysunku (pole każdego prostokąta wynosi ab/n2 3) zliczamy wszystkie prostokąty zawarte w A i oznaczamy ich pole jako sn 4) zliczamy wszystkie prostokąty, które zawierają jakiś punkt zbioru A i oznaczamy ich pole jako Sn 6) Jeżeli s*=S*=P, to A jest mierzalny w sensie Jordana, a P nazywamy jego polem Uwaga: miara Jordana brzegu, S*-s*, wynosi 0 dla zbioru mierzalnego

55 Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Jordana
(przejście graniczne z liczbą wierzchołków przed pomiarem w sensie Jordana) Inne: trójkąt Sierpińskiego, fraktale

56 Uwagi: W trzech wymiarach konstrukcja miary Jordana jest analogiczna – używamy prostopadłościanów. W większej liczbie wymiarów używamy hiperkostek. W jednym wymiarze (do pomiaru zbioru leżącego na prostej) używamy odcinków. Przy zmianie skali długości, L, pole zmienia się jak L2, objętość jak L3, hiperobjętość jak Ld, gdzie d jest liczbą wymiarów przestrzeni

57 Pole figury płaskiej Dowód wynika natychmiast z analogii konstrukcji miary Jordana i całki Riemanna

58

59

60 Objętość bryły obrotowej

61 Pole pobocznicy bryły obrotowej

62 Długość krzywej

63 Całki niewłaściwe

64

65 Kryterium całkowe zbieżności szeregu
Podstawowa idea:

66

67

68 Stała Eulera-Mascheroniego
Nie wiadomo, czy jest liczbą wymierną czy niewymierną! Występuje w wielu całkach i szeregach, np.

69 Granica pod całką

70

71 Różniczkowanie po parametrze
Bardzo użyteczna sztuczka!

72 Całkowanie funkcji oscylujących