Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl."— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 CIĄGI monotoniczność ciągów

3 Spotkaliśmy się z ciągami: rosnącymi, malejącymi. Spróbujmy się im przyjrzeć i zapisać matematyczne warunki. ( 4, 26, 34, 57, 67,……..) - ciąg rosnący ( ¾, ¾, ¾, ¾, ¾, ¾, ………) - ciąg stały ( 7, -2, -23, -33, -47, -89, ……….) - ciąg malejący ( 3, 3, 3, 0, -2, -7, -7, -10, ……) - ciąg nierosnący (2, 4, 7, 7, 7, 13, 15, 15, …….) - ciąg niemalejący

4 CIĄG ROSNĄCY Ustawmy dowolne elementy w ciąg rosnący; w ciągu liczbowym wstawmy znaki pomiędzy wyrazami. (,,,,,, …….) ( 0, 7, 11, 12, 23, ………………………….. ) ( a 1 < a 2 < a 3 < a 4 < a 5 < < a n < a n+1 )

5 Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie zapisać: a n < a n+1 i przekształcić nierówność a n+1 > a n a n+1 - a n > 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a n ) był rosnący: a n+1 - a n > 0 Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a n+1 a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym a n jest dodatnia

6 Ćw. Sprawdź z definicji, czy ciąg jest rosnący: a)a n = 10n + 2 wyznaczmy wyraz a n+1 oraz różnicę a n+1 - a n a n+1 = 10(n+1) + 2 a n+1 – a n = = 10(n+1) + 2 – [10n + 2] = = 10n – 10n – 2 = 10 otrzymana liczba jest dodatnia, co możemy zapisać: a n+1 – a n > 0 ciąg (a n ) jest rosnący

7 b) b n = n 2 + 3n + 6 wyznaczmy wyraz b n+1 b n+1 = (n+1) 2 + 3(n+1) + 6 = n 2 + 2n n = n 2 + 5n + 10 obliczmy różnicę: b n+1 - b n b n+1 – b n = = [n 2 + 5n + 10] – [n 2 + 3n + 6 ] = = n 2 + 5n + 10 – n 2 – 3n – 6 = 2n + 4 otrzymane wyrażenie jest dodatnie ( n jest liczbą dodatnią, 2n jest liczbą dodatnią więc 2n + 4 również dodatnie); dlatego możemy zapisać: b n+1 – b n > 0 ciąg (b n ) jest rosnący

8 CIĄG MALEJĄCY (,,,,, …….) ( 10, 7, 1, -5, -6, ………………………….. ) wstawmy odpowiednie znaki pomiędzy wyrazami w ciągu: ( a 1 > a 2 > a 3 > a 4 > a 5 > > a n > a n+1 )

9 Patrząc na dowolne miejsca w ciągu możemy ogólnie zapisać: a n > a n+1 i przekształcić nierówność a n+1 < a n a n+1 - a n < 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a n ) był malejący: a n+1 - a n < 0 Różnica pomiędzy dowolnym wyrazem a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym jest ujemna

10 Ćw. Sprawdź czy ciąg jest malejący a n = 20 – n wyznaczmy wyraz a n+1 oraz różnicę a n+1 - a n a n+1 = 20 – (n+1) a n+1 – a n = = 20 – (n+1) – [20 – n ] = = 20 – n – 1 – 20 + n = -1 otrzymana liczba jest ujemna, co możemy zapisać: a n+1 – a n < 0 ciąg (a n ) jest malejący

11 CIĄG STAŁY ( 6, 6, 6, 6, 6, …………..) a 2 – a 1 = 6 – 6 = 0 a 3 – a 2 = 6 – 6 = 0 a 4 – a 3 = 6 – 6 = 0 Widzimy, że różnica pomiędzy wyrazami jest stała, równa 0 Matematycznie zapiszemy: a n+1 - a n = 0 Otrzymaliśmy warunek na to, aby ciąg (a n ) był stały

12 CIĄG NIEMALEJĄCY Zbiór punktów dla tego ciągu przedstawia wykres. Z wykresu widzimy, że ciąg wzrasta lub jest stały. Matematyczny warunek dla ciągu niemalejącego: a n+1 - a n 0 a n · · · · · · · · · n

13 CIĄG NIEROSNĄCY Narysujmy wykres do tego rodzaju ciągu: Z wykresu widzimy, że ciąg maleje lub jest stały. Matematyczny warunek dla ciągu nierosnącego: a n+1 - a n 0 a n · · · · · · · · · n

14 Ćwiczenia. Określ rodzaj ciągu: (1) a n = n 3 + 7n + 8 wyznaczmy wyraz a n+1 a n+1 = (n+1) 3 + 7(n+1) + 8 = n 3 + 3n 2 + 3n n = n 3 + 3n n + 16 obliczmy różnicę: a n+1 – a n = = [n 3 + 3n n + 16] – [n 3 + 7n + 8 ] = = n 3 + 3n n + 16 – n 3 – 7n – 8 = 3n 2 + 3n + 8 otrzymane wyrażenie jest dodatnie a n+1 – a n > 0 ciąg (a n ) jest rosnący

15 (2) b n = – n 3 – 4 wyznaczmy wyraz b n+1 b n+1 = – (n+1) 3 – 4 = – ( n 3 + 3n 2 + 3n + 1 ) – 4 = – n 3 – 3n 2 – 3n – 1 – 4 = – n 3 – 3n 2 – 3n – 5 obliczmy różnicę: b n+1 – b n = = [– n 3 – 3n 2 – 3n – 5 ] – [– n 3 – 4 ] = = – n 3 – 3n 2 – 3n – 5 + n = – 3n 2 – 3n – 1 otrzymane wyrażenie jest ujemne b n+1 – b n < 0 ciąg (b n ) jest malejący

16 (3) c n = 102 wyznaczmy wyraz c n+1 c n+1 = 102 obliczmy różnicę: c n+1 – c n = 102 – 102 = 0 c n+1 – c n = 0 ciąg (c n ) jest stały

17 (4) wyznaczmy wyraz d n+1 obliczmy różnicę: otrzymane wyrażenie jest dodatnie d n+1 – d n > 0 ciąg (d n ) jest rosnący

18 (5) wyznaczmy wyraz e n+1 obliczmy różnicę: e n+1 – e n < 0 ciąg (e n ) jest malejący


Pobierz ppt "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl."

Podobne prezentacje


Reklamy Google