Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metoda Gaussa-Seidela Przykład: A=(L+D) -1 lub w postaci równań

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metoda Gaussa-Seidela Przykład: A=(L+D) -1 lub w postaci równań"— Zapis prezentacji:

1

2 Metoda Gaussa-Seidela Przykład:

3 A=(L+D) -1 lub w postaci równań

4 Zerowe przybliżenie

5

6 Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji y n w punktach x n, gdzie n=0,1,2,....N-1. x y x0x0 y0y0 xnxn ynyn x N-1 y N-1

7 Interpolacja wielomianowa Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia co najwyżej N (N>=0), który w punktach x 0, x 1,...,x N-1 przyjmuje wartości y 0,y 1,...,y N-1. Wzór interpolacyjny Lagrange'a: gdzie jest wielomianem stopnia co najwyżej N.

8 Z warunku interpolacyjnego: powyższy układ N równań można najprościej rozwiązać przyjmując dla wielomianów k (x) następujące warunki : jako wielomian k (x) należy wybrać taki, który ma miejsca zerowe we wszystkich punktach interpolacji z wyjątkiem punktu x k, w którym funkcja ma wartość 1 Rozwiązaniem jest wielomian :

9 z warunku: otrzymuje się: Wielomian Lagrange'a przyjmuje postać:

10 Ocena błędu interpolacji:

11 Przykład 1. Zbudować wielomian interpolacyjny dla funkcji exp(x) w przedziale [1,2] bazując na 5 węzłach interpolacyjnych. Wybierzmy węzły równomiernie czyli xixi yiyi mamy:

12 Wielomian Lagrangea jest:

13 lub Wyniki obliczeń przedstawiono na wykresie:

14 Dla lepszej oceny wykres błędu względnego:

15

16 Przykład 2. W wyniku pomiarów zdjęto pierwotną krzywą magnesowania B=F(H). Zbudować wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla zakresu 0<=H <=3000A/m. H[A/m] B[T] Kolejne wielomiany k (H) dla k=0,1,...8 są: lub po obliczeniu mianownika mamy:

17

18 i wielomian aproksymacyjny jest lub

19 Otrzymany wynik jest niemożliwy do przyjęcia!!!

20 Interpolacja liniowa odcinkami: H[A/m] B[T] dla lub po wykonaniu działań: dla i podobnie: dla

21

22 B(H)

23 Porównanie Ba(H) – interpolacja liniowa B(H) – wielomian 8-go stopnia

24 Optymalny dobór węzłów interpolacji. Dobrać węzły interpolacji tak aby kres górny wielomianu był jak najmniejszy. Rozwiązanie otrzymuje się za pomocą wielomianów Czebyszewa. Są to wielomiany zdefiniowane na przedziale x [-1,1] i są zdefiniowane : Przykładowe wykresy dla n=1,2,3,4:

25

26 Wielomiany spełniają następujące związki: Każdy z wielomianów ma n różnych pierwiastków określonych zależnością: w przedziale [-1,1].

27 Współczynnik przy najwyższej potędze x we wielomianie wynosi 2n-1. Dowodzi się, że jeżeli dla przedziału [-1,1] dobrać pierwiastki zgodnie z zależnością określającą pierwiastki wielomianu Czebyszewa to zachodzi: stąd wynika

28 czyli ocena błędu w przedziale [-1,1] jest: Problem jest rozwiązany w przedziale [-1,1]. Aby go rozwiązać w przedziale [a,b] należy dokonać odwzorowania przedziału [a,b] na przedział [-1,1]. Niechaotrzymujemy 1 z a b x

29 i stąd mamy: Dla przedziału [a,b] należy dla optymalnej interpolacji wybrać punkty według zależności: Ocena błędu przyjmuje postać:


Pobierz ppt "Metoda Gaussa-Seidela Przykład: A=(L+D) -1 lub w postaci równań"

Podobne prezentacje


Reklamy Google