Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 11 21.05.2008 r. Zagadnienie n ciał Prolog – jeszcze o symulacjach Przykłady rozwiązań numerycznych 3 i więcej ciał: Moving Stars.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 11 21.05.2008 r. Zagadnienie n ciał Prolog – jeszcze o symulacjach Przykłady rozwiązań numerycznych 3 i więcej ciał: Moving Stars."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Zagadnienie n ciał Prolog – jeszcze o symulacjach Przykłady rozwiązań numerycznych 3 i więcej ciał: Moving Stars Around Zagadnienie 3 ciał w przypadku dwóch stałych centrów grawitacji Przykłady rozwiązań szczególnych dla 3 i 4 ciał Numeryczne rozwiązania zagadnienia n ciał Zagadnienie n ciał

3 Rozwiązania szczególne Duża część rozwiązań szczególnych jest uogólnieniem znanych rozwiązań dla układu 3 ciał. Znane rozwiązania dla n ciał można podzielić na kilka klas: 1.płaskie – jeśli w zagadnieniu n ciał możemy w każdym momencie zdefiniować płaszczyznę zawierającą wszystkie ciała. Dodatkowo, jeśli płaszczyzna nie zmienia swojego położenia w czasie to mówimy o rozwiązaniach jednopłaszczyznowych 2.współliniowe – w przypadku gdy dla dowolnego momentu czasu wszystkie ciała znajdują się na jednej prostej 3.homograficzne – kształt utworzony przez n ciał względem barycentrum jest zachowany, przykład:

4 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne

5 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - współliniowe Układ jest współliniowy jeśli w danej chwili t=t 0 wszystkie ciała leżą na jednej prostej Można pokazać, że jeżeli istnieje płaszczyzna niezmiennicza dla tego układu to ta linia leży w tej właśnie płaszczyźnie Dla momentu t=t 0, każda dowolna para dwóch punktów leży na jednej linii z początkiem układu współrzędnych, czyli:

6 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - współliniowe Mnożąc skalarnie przez wektor prędkości otrzymujemy: sumując po i: czyli równanie płaszczyzny niezmienniczej (ponieważ c 0)

7 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Rozwiązanie homograficzne układu równań opisującego zagadnienie n ciał odpowiada przypadkowi, w którym jest zachowana konfiguracja ciał. Układ (względem barycentrum) jest podobny do samego siebie. To oznacza, że istnieje taka skalarna funkcja λ=λ(t) oraz ortogonalna macierz (3x3) =(t), że: gdzie λ(t) reprezentuje skrócenie (wydłużenie), a opisuje obrót. Wektor τ opisujący translację układu jest równy 0, ze względu na barycentryczny układ współrzędnych. r k o opisuje układ ciał w momencie t 0.

8 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne W przypadku homograficznym stosunki wektorów wodzących ciał są stałe =1 λ=1

9 Wyprowadzimy teraz równania ruchu homograficznego. W tym celu wprowadzamy do układu (x,y,z) drugi układ (ξ,η,ζ), którego osie mogą zmieniać długość i rotować wokół początku układu. Wektor wodzący ciała k: wtedy w momencie czasu t=t 0 : a w dowolnej innej chwili: Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne

10 Niech będzie prędkością kątową układu (ξ,η,ζ) względem układu barycentrycznego (x,y,z), wtedy: a)dla λ=const>0 i ω=const 0 ruch jest we względnej równowadze b)dla λ=λ(t)>0 oraz ω=0 mamy do czynienia z ruchem jednokładnym Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne

11 Moment bezwładności w chwili t 0 : Natomiast w układzie (ξ,η,ζ) w dowolnym innym momencie czasu: stąd i z równania: można zauważyć, że: Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne

12 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Składowe prędkości k-tego ciała w układzie (ξ,η,ζ) są równe: skąd: Natomiast energia kinetyczna:

13 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Odległość między dwoma masami m j i m k : znów korzystamy z równania możemy napisać: ostatecznie dostajemy dla potencjałów: gdzie (dla układu jednostek, w którym G=1):

14 Zagadnienie n ciał Rozwiązania szczególne - homograficzne Podstawiając otrzymane wyrażenia do równania Lagrangea II-go rodzaju: otrzymujemy ostatecznie (11.1): równania ruchu homograficznego dla j-tego ciała. Istnieją trzy szczególne przypadki tego ruchu: a) współliniowy, b) płaski i c) przestrzenny (dla n>=4).

15 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Z takim rodzajem ruchu mamy do czynienia kiedy wszystkie n ciał znajdują się na jednej linii. Jeśli przyjmiemy, że tą linią jest oś ξ to dla każdego k w momencie t 0 mamy: oprócz tego dla dowolnego k w każdym innym momencie czasu:

16 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Poza tym można tak dobrać oś η w taki sposób, że ω 2 =0 i wtedy układ 11.1 przyjmuje postać: (11.2)

17 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Z ostatnich dwóch równań wynika, że: ω 3 =0 i ω 1 0, lub ω 3 0 i ω 1 =0 1. ω 3 =0 i ω 1 0. Ponieważ jednocześnie ω 2 =0, więc oś ξ jest nieruchoma i ruch odbywa się po linii prostej mającej ustalone położenie w przestrzeni. Poza tym całkowity moment pędu znika (η k =ζ k =0 oraz v ηk =v ζk =0) i ruch jest jednokładny 2. ω 3 0 i ω 1 =0. W tym wypadku λ 2 ω 3 =const=α, a oś ξ nie jest nieruchoma tylko rotuje wokół osi ζ, która tym razem jest nieruchoma. Ruch odbywa się w płaszczyźnie ζ=0 i będzie to ruch jednopłaszczyznowy, z płaszczyzną ξη nieruchomąruch jednopłaszczyznowy w przestrzeni

18 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Oba powyższe przypadki można sprowadzić do jednego (bo pierwsze z równań 11.2 nie zawiera ω 1 ) podstawiając za ω 3 wyrażenie α/λ 2 (wtedy pierwszy przypadek odpowiada α=0): ponieważ λ 0, więc możemy powyższe przepisać w postaci: skąd można zauważyć, że prawa strona jest stała (a więc lewa również).

19 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Wprowadzając w miejsce prawej strony wyrażenie –β 2 (minus oznacza, że siła jest przyciągająca) możemy przekształcić otrzymane równania do postaci: mnożąc obustronnie pierwsze równanie przez dλ/dt i całkując dostajemy: gdzie γ jest stałą całkowania. Podstawiając drugie równanie mamy ostatecznie:

20 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy Pamiętając, że: możemy zauważyć, że otrzymane równanie jest tożsame z równaniem energii ruchu keplerowskiego: Jeżeli λ jest stałe to również ω 3 jest stałe i orbity keplerowskie są okręgami – n ciał znajduje się na jednej linii rotującej ze stałą prędkością ω 3 wokół barycentrum. Dla α=0 (ω 3 =0), ciała spadają na barycentrum po liniach prostych

21 Pamiętając o definicji wprowadzonej wcześniej zmiennej β możemy napisać: wielkości X j zależą tylko od mas i współrzędnych początkowych, więc powyższe równanie określa n warunków, które muszą być spełnione aby ruch był homograficzny Jednak również jest spełnione dla n czynników X j, w związku z tym powyższe równanie określa n-1 warunków dla ruchu homograficznego Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny współliniowy

22 Załóżmy, że początkową płaszczyzną ruchu jest płaszczyzna ζ=0, wtedy dla każdego k współrzędne z i ζ są równe 0. W takim razie układ 11.1 przyjmuje postać: Można pokazać (Boccaletti i Pucacco 2004), że ruch homograficzny płaski jest jednocześnie jednopłaszczyznowy Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski

23 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski Jeżeli ruch odbywa się w jednej płaszczyźnie niezmiennej z czasem to wygodnie jest opisywać ją jako płaszczyznę zespoloną, na której położenia kolejnych mas są przedstawione liczbami zespolonymi: gdzie a k są zespolonymi stałymi a q jest zespoloną funkcją czasu. Stąd: Równanie ruchu n-ciał w przypadku ruchu jednopłaszczyznowego zapisane w postaci zespolonej:

24 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski Podstawiając do równania ruchu wyrażenie na p k oraz zakładając q 0 dostajemy: a następnie: prawa strona ostatniego równania jest niezależna od czasu.

25 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski W takim razie rozpatrywane zagadnienie sprowadza się do znalezienia rozwiązania równania różniczkowego: (gdzie b jest stałą niezależną od t, a całe równanie nie zależy od n) uzupełnionego przez układ równań: Równanie 11.3a jest niezależne od n więc, możemy znać jego rozwiązanie jeżeli rozwiążemy je dla przypadku dwóch ciał. (11.3a) (11.3b)

26 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny płaski W przypadku dwóch ciał (we współrzędnych barycentrycznych): które może być wyrażone w postaci: gdzie a jest pewną liczbą zespoloną. Z układu 11.3b otrzymujemy wtedy: co oznacza, że b jest liczbą rzeczywistą, ujemną. Jeżeli rozwiązaniem układu 11.3a jest q=q(t) - znana funkcja z parametrami b<0 i a 0 to wtedy: jest parametrycznym równaniem krzywej stożkowej leżącej w płaszczyźnie xy, której ognisko leży w barycentrum układu. Uogólniając to na n ciał, w ruchu homograficznym płaskim każde z ciał porusza się po krzywej stożkowej, a jednocześnie wielobok utworzony przez nie zachowuje swój kształt. przykładprzykład

27 Zagadnienie n ciał Ruch homograficzny – podsumowanie 1.Każdy ruch homograficzny (w szczególności współliniowy) jest płaski jeśli całkowity moment pędu jest różny od 0 2.Kiedy całkowity moment pędu znika mamy do czynienia z ruchem jednokładnym 3.Ruch homograficzny z zerowym momentem pędu jest ruchem jednokładnym gdzie każde z ciał porusza się po prostej przechodzącej przez barycentrum

28 Zagadnienie 3 ciał Zagadnienie trzech ciał (a także każdej innej ich liczby) polega na wyznaczeniu ich ruchu przy znanych warunkach początkowych (położenie i prędkości). Poza tym zakładamy, że ciała działają na siebie tylko siłą grawitacji i poruszają się w pustej przestrzeni W ogólnym przypadku nie jest rozwiązywalne Istnieje kilka rozwiązań szczególnych: 1. współliniowe 2. homograficzne 3. ruch po ósemce

29 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Dla n=3 równania ruchu przyjmują postać: Jest to układ rzędu 18-tego i może być zredukowany do układu rzędu 6-tego, który jest klasycznym problemem 3 ciał. Taki układ ma rozwiązania szczególne (homograficzne) podane przez Lagrangea.

30 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Zacznijmy od przypadku homograficznego współliniowego. Warunki determinujące ruch homograficzny: w przypadku trzech ciał przyjmują postać: (11.4)

31 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Spośród uzyskanych równań jedynie dwa są niezależne, ponieważ współrzędne x i o odnoszą się do barycentrum. Możemy założyć, że: wtedy: Odejmując od siebie pierwsze dwa równania układu (11.4) otrzymujemy: a po odjęciu ostatnich dwóch: (11.5)

32 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Następnie zdefiniujmy: skąd mamy: co pozwala zapisać równania 11.5 w postaci:

33 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Eliminując, z otrzymanych równań, r 12 o dostajemy wielomian piątego stopnia w postaci: jeśli wszystkie wyrazy zawierające δ zastąpimy przez f(δ) to: co oznacza, że otrzymany wielomian ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

34 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Można pokazać, że jest to tylko jeden pierwiastek. Wynika to z reguły Kartezjusza: liczba dodatnich pierwiastków wielomianu jest równa liczbie zmian znaku pomiędzy kolejnymi niezerowymi współczynnikami lub też mniejsza od niej o wielokrotność liczby 2; liczbę ujemnych pierwiastków można oszacować zamieniając x na x Ponieważ są trzy możliwości rozłożenia trzech punktów na linii prostej więc istnieją trzy rozwiązania współliniowe. Dla λ=const wszystkie ciała rotują ze stałą prędkością kątową i mamy przypadek równowagi względnej Gdy λ nie jest stałe to wszystkie ciała zakreślają krzywe stożkowe o wspólnym ognisku

35 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Wróćmy do układu 11.3b i rozpatrzmy przypadek jednopłaszczyznowy: gdzie niewiadomymi są stałe zespolone a k (k=1,2,3), które razem z funkcją q(t) określają położenia mas m 1, m 2, m 3 na płaszczyźnie zespolonej. Dla t=0 możemy unormować funkcję q(t) biorąc część rzeczywistą za równą 1, a część urojoną równą 0 (wtedy q(0)=1). Dodatkowo: Wtedy układ 11.3b uzupełniony o warunek jaki spełniać mają współrzędne barycentryczne, przyjmuje postać:

36 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea (11.6) W tym układzie tylko sześć równań jest niezależnych. Równania współrzędnych barycentrycznych mogą być uzyskane po pomnożeniu pozostałych sześciu przez odpowiednie masy i dodaniu do siebie.

37 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Aby uzyskać rozwiązania Lagrangea załóżmy na początek, że nie mamy do czynienia z przypadkiem równobocznym, czyli: Orientacja osi układu jest dowolna. W takim razie możemy wybrać oś x tak, aby przechodziła przez masę m 3. Wtedy y 3 o =0 i z równania barycentrum mamy: jednocześnie z innego z równań układu 11.6 dostajemy: Powyższe równania są spełnione równocześnie tylko w przypadku (pamietając o tym, że zakładaliśmy nierówne boki):

38 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Powtarzając tą procedurę dla osi x przechodzącej przez pozostałe masy, możemy pokazać, że jedynymi rozwiązaniami układu są: 1) przykładprzykład 2) trzy masy leżące na jednej linii ω ω

39 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea Rozwiązania Lagrangea są jedynymi rozwiązaniami homograficznymi zagadnienia trzech ciał. W takim wypadku w układzie 11.6 wstawiamy jedną wartość odległości między ciałami r 0 w momencie czasu t=0, wtedy: podobnie dla pozostałych równań. Jeśli sumę mas oznaczymy przez M to:

40 Zagadnienie 3 ciał Rozwiązania Lagrangea ω W przypadku orbit kołowych mamy –b=ω 2, gdzie ω jest wspólną prędkością kątową wszystkich trzech ciał. Stąd: W ogólnym przypadku (λ const) orbity są krzywymi stożkowymi. Dla orbit eliptycznych:


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 11 21.05.2008 r. Zagadnienie n ciał Prolog – jeszcze o symulacjach Przykłady rozwiązań numerycznych 3 i więcej ciał: Moving Stars."

Podobne prezentacje


Reklamy Google