Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe."— Zapis prezentacji:

1 1 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru, stany z wysokim n; zasada odpowiedniości Bohra)

2 2 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA

3 3 U, operator ewolucji w czasie

4 4 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

5 5 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA U, operator ewolucji w czasie

6 6 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA Feynman, t. III, rozdz. 8, 16 U, operator ewolucji w czasie zależne od czasu równanie Schrődingera H – Hamiltonian

7 7 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob. funkcja falowa: Dla elektronu swob. operator energii Ponieważ dla fali: mamy: Prędkość grupowa fali jest klasyczną prędkością elektronu

8 8 RÓWNANIE SCHRŐDINGERA dla elektronu swob. funkcja falowa: Pokażemy, że jeśli przyjmiemy, że: gdzie: to:

9 9

10 10 Dla pojedynczej cząstki w centralnym polu dojdzie energia potencjalna cząstki V(r): widzimy, że operator pędu: Porównując:

11 11 Elektron w atomie H

12 12 Fala bieżąca? Elektron w atomie H NIE!!!

13 13 Fala bieżąca? Elektron w atomie H NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą…

14 14 Fala bieżąca? Elektron w atomie H NIE!!! Ale jakaś kombinacja fal bieżących, która da falę stojącą… Przyjmijmy zatem, że:

15 15

16 16

17 17 ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem

18 18 ponieważ lewa strona zależy od czasu a prawa od współrzędnych przestrzennych, zatem spełnienie równości wymaga, by obie strony były równe tej samej stałej, np. E

19 19 Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

20 20 niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

21 21 niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

22 22 niezależne od czasu równanie Schrődingera i drugie równanie, które możemy łatwo rozwiązać: E będzie energią elektronu Ponieważ: Przypomnienie; efekt fotoelektryczny: Otrzymujemy dwa równania: (separacja zmiennych)

23 23 Dla atomu wodoru: gdzie cząstka 1 to proton, a cząstka 2 to elektron. Ponieważ masa protonu jest znacznie większa od masy elektronu, m, to w układzie współrzędnych związanych z nieruchomym protonem mamy:

24 24 Energia potencjalna elektronu w atomie H: Prowadzi to do równania Schrődingera niezależnego od czasu: Energia potencjalna elektronu w jonie H-podobnym: gdzie:

25 25 Ze względu na niewygodną postać energii potencjalnej elektronu we współrzędnych kartezjańskich: przechodzimy do współrzędnych sferycznych: mamy wówczas prostą postać energii potencjalnej: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 r – promień wodzący, θ – kąt biegunowy, Φ – kąt azymutalny

26 26 Bardziej skomplikowany będzie człon związany z energią kinetyczną. Musimy uwzględnić zależność funkcji: od wszystkich współrzędnych sferycznych. Musimy przeliczyć pochodne, np. dla x – owej: Ponieważ:

27 27 Dla funkcji radialnej,, niezależnej od współrzędnych kątowych, otrzymamy: Dla składowych y i z, przez analogię otrzymamy:

28 28 i: A po dodaniu wszystkich trzech członów: Lub w innych równoważnych postaciach:

29 29 A równanie Schrődingera dla wodoru dla funkcji radialnej przyjmie postać: W przypadku najbardziej ogólnym, gdy funkcja ψ zależy od wszystkich współrzędnych sferycznych:

30 30 Jako próbne rozwiązanie wstawimy funkcję: Równanie to będzie spełnione tylko wtedy gdy:

31 31 Otrzymaliśmy wyrażenia na dwie nieznane stałe: promień Bohra i energia, tzw. Rydberg. Otrzymaliśmy taką samą energię jak w modelu Bohra dla n = 1 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 rozkład gęstości prawdopodobieństwa n = 1, l = 0; stan 1s

32 32 Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w odległości pomiędzy r i r+dr od jądra dla stanu 1s wyniesie: co oznacza, że radialny rozkład prawdopodobieństwa: a maksimum tego rozkładu znajdziemy tak: podobnie jak w modelu Bohra, dla orbity n = 1

33 33 Funkcja falowa stanu podstawowego 1s dla wodoru i radialny rozkład gęstości prawdopodobieństwa

34 34 Rozkład gęstości prawdopodobieństwa dla stanu 2s liczby kwantowe elektronu w atomie wodoru n – główna liczba kwantowa, 1, 2, 3, 4 … l – orbitalna liczba kwantowa, 1, 2, 3, … n-1 m – magnetyczna liczba kwantowa, - l, - l +1, …+ l Dla stanów s l = 0 p l = 1 d l = 2 f l = 3 Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003

35 35 Inne rozwiązanie próbne; funkcja z węzłem w płaszczyźnie xy: Wyliczamy pierwszą pochodną: i drugą pochodną:

36 36 Analogicznie dla drugiego wyrazu (po y): Ale trzeci człon będzie inny: i druga pochodna po z:

37 37 Zbierając razem trzy pochodne cząstkowe: Otrzymamy równanie Schrődingera w postaci: podobnej do równania dla stanu podstawowego.

38 38 Spróbujemy zatem podobnego rozwiązania: Po wstawieniu do równania Schrődingera otrzymamy następujące równanie: spełnienie którego wymaga by: oraz

39 39 Z drugiego warunku otrzymujemy: a energia w tym stanie wyniesie: Trzy rozwiązania: odpowiadają tej samej energii

40 40 a gęstości prawdopodobieństwa ich kombinacji liniowych: wyglądają jak na rysunku: Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 n =2, l = 1

41 41 Stan z wysokim n i l (n = 45, l = 44) Halliday, Resnick, Walker, Podstawy fizyki, Copyright © Wydawnictwo Naukowe PWN SA, Warszawa 2003 Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla atomu wodoru w stanie n = 45 i l = 44 Zasada odpowiedniości Bohra, obraz kwantowy przechodzi w klasyczny dla dużych liczb kwantowych


Pobierz ppt "1 ATOM WODORU W MECHANICE KWANTOWEJ (równanie Schrődingera dla atomu wodoru, separacja zmiennych, stan podstawowy 1s, stany wzbudzone 2s i 2p, liczby kwantowe."

Podobne prezentacje


Reklamy Google