Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Grafika komputerowa Wykład 7 Krzywe na płaszczyźnie.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Grafika komputerowa Wykład 7 Krzywe na płaszczyźnie."— Zapis prezentacji:

1 Grafika komputerowa Wykład 7 Krzywe na płaszczyźnie

2 Krzywe parametryczne: Krzywa składa się ze wszystkich punktów P(t) dla parametru t z przedziału Jeśli funkcje x(t),y(t),z(t) są ciągłe to i krzywa jest ciągła Rysowanie krzywej polega zwykle na jej przybliżeniu łamaną o wierchołkach:

3 Krzywe parametryczne: Najprostsza krzywa parametryczna – odcinek o końcach P P i P K W praktyce chcemy mieć możliwość łatwego intuicyjnego kształtowania krzywej Zwykle odbywa się to przez wskazanie punktów kontrolnych P 0, P 1,…,P n Punkty na krzywej wyznaczamy wówczas stosując do punktów kontrolnych wagi B i (t): Wagi B i (t) zwykle przyjmują postać wielomianów

4 Krzywa interpolacyjna z wielomianami Lagrangea: Zadanych jest n+1 punktów kontrolnych P 0, P 1,…,P n oraz n+1 odpowiadających im wartości parametru skalarnego: t 0 =t P, t 1, t 2,…, t n =t K, t i

5 Krzywa interpolacyjna z wielomianami Lagrangea: Zaleta: Można wymusić przechodzenie przez zadane punkty kontrolne Wada: Przy modelowaniu skomplikowanych kształtów wymagany jest wysoki stopień wielomianu (wiele punktów kontrolnych) Przebieg krzywej pomiędzy punktami kontrolnymi jest w tym przypadku trudny do przewidzenia Krzywa wykazuje znaczne oscylacje pomiędzy punktami kontrolnymi

6 Krzywa Beziera: Wielomian Bernsteina: Krzywa Beziera (def): dla t z przedziału

7 Krzywa Beziera: Dla : Łatwo zauważyć, że: P0P0 P1P1 P2P2 P3P3

8 Krzywa Beziera – własności: (1) Punkty P 0 i P n leżą na krzywej (3) dla Krzywa leży w całości w powłoce wypukłej punktów. Pochodna Stąd: Krzywa w punktach 0 i 1 jest styczna do odcinków (2)

9 Krzywa Beziera – obliczanie wielomianu: Obliczanie pozycji punktu na krzywej z definicji może prowadzić do problemów obliczeniowych ze względu na występowania we wzorze bardzo dużych (wartości symbolu Newtona) i bardzo małych (t i ) Wykorzystując zależności : Pierwszy nawias: wielomian Beziera dla punktów Drugi nawias: wielomian Beziera dla punktów Wielomian o n punktach kontrolnych można wyrazić jako kombinację dwóch wielomianów o n-1 punktach kontrolnych

10 Krzywa Beziera – obliczanie wielomianu: for t=0 to 1 step t { for i=0 to m R i = P i ; n = m; while (n > 0) { for i = 0 to n - 1 n = n – 1; for i = 0 to n R i = Q i ; } P(t) = R0; } Punkty na krzywej Beziera można wyznaczyć jako interpolację punktów krzywych wielomianów niższego stopnia. Algorytm obliczania wielomianu: P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 Wyznaczyć położenie punktu na krzywej dla t=1/3.

11 Sklejana krzywa Beziera: Krzywa Beziera nie przechodzi przez wszystkie swoje punkty kontrolne W niektórych zastowaniach potrzebujemy krzywej gładkiej przechodzącej przez zadane punkty Stopień wielomianu krzywej powinien być możliwie niski Krzywą o wymaganych własnościach można uzyskać łącząc odpowiednio dobrane segmenty Beziera np. trzeciego stopnia (4 punkty kontrolne) Punkt końcowy segmentu poprzedniego i punkt początkowy segmentu następnego są sobie równe – ciągłość krzywej Punkty końcowe P 0,k i P 3,k są jawnie wskazywane – krzywa będzie przechodziła przez te punkty Pozostałe punkty kontrolne P 1,k,P 2,k dla każdego k-tego segmentu są wyznaczane automatycznie tak aby zachować gładkość krzywej – wykorzystujemy to własność styczności krzywej do odcinków P 0,k P 1,k i P n-1,k,P n,k Zasada tworzenia krzywej sklejanej:

12 Sklejana krzywa Beziera: : P 2,1 P 0,1 P 1,1 P 3,1 =P 0,1 P 1,1 P 1,2 P 1,3 Przykład krzywej sklejanej o dwóch segmentach - punkty wskazane - punkty wyznaczone automatycznie

13 Krzywe B-sklejane: : W przypadku krzywych o wielu punktach kontrolnych pożądane byłoby aby położenie punktu kontrolnego nie wpływało na przebieg całej krzywej a tylko na jej niewielki fragment. W tym celu współczynnik wagowy B i dla punktu P i powinien być niezerowy tylko dla przedziału ΔT (i) = zawartym w przedziale. Chcemy aby na pozycję określonego punktu na krzywej wpływały tylko położenia m+1 kolejnych punktów kontrolnych Konstrukcja odpowiednich funkcji wagowych – funkcje B-sklejane

14 Krzywe B-sklejane: Funkcja B–sklejana m-tego rzędu – funkcja N i,m (t) mająca wartość 0 we wszystkich podprzedziałach z wyjątkiem m+1 podprzedziałów (i – indeks punktu kontrolnego, dla którego definiujemy funkcję) funkcja B–sklejana stopnia m w przedziale funkcja liniowa (m = 1 ) titi t i+1 t i+2 titi t i+1 1 1

15 Krzywe B-sklejane: funkcja kwadratowa (m = 2 ) titi t i+1 t i+2 1 t0t0 t1t1 t2t2 1 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 t7t7 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 t i+3 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 t7t7 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 t8t8 t 0,..t m-1 oraz t n+2,…t n+m+1 – punkty brzegowe

16 Krzywe B-sklejane: t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 t7t7 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 t8t8 Tak zdefiniowana krzywa zaczyna się i kończy w punkcie (0,0) – dla t = t 0 i t = t n+m+1 P0P0 P1P1 P3P3 P4P4 P5P5 P2P2 Wygodniej byłoby manipulować krzywą gdyby zaczynała się i kończyła we wskazanych punktach x y t

17 Krzywe B-sklejane: t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 t4t4 t5t5 t6t6 t7t7 P0P0 P1P1 P2P2 P3P3 P4P4 P5P5 t8t8 Dodajemy m-1 sztucznych punktów kontrolnych na początku i na końcu sekwencji punktów kontrolnych – łącznie k+2m-2 punktów: P 0 =P 1 =…=P m-2 =P 0 oraz P k+m-1 =…=P k+2m-3 =P K P i =P i-m dla i=m-1, m, m+1,…,k+m-2 t j+1 -t j =1, t 0 =-m, t m =0 Generujemy krzywą dla t z przedziału (0,k) P0P0 P1P1 P3P3 P4P4 P5P5 P2P2 x y t

18 © J. Sas - Cyfrowe przetwarzanie obrazów Krzywe B-sklejane – własności: dla dla t (t m, t n ) Wnioski: Funkcja bazowa dla P i jest niezerowa tylko w m+1 przedziałach t więc zmiana pojedynczego punktu P i ma wpływ na krzywą tylko w m+1 przedziałach. Krzywa B–sklejana leży wewnątrz powłoki wypukłej punktów wiodących. Ponieważ na każdy punkt ma wpływ co najwyżej m+1 punktów to krzywa leży również wewnątrz sumy powłok wypukłych kolejnych ciągów m+1 punktów wiodących.


Pobierz ppt "Grafika komputerowa Wykład 7 Krzywe na płaszczyźnie."

Podobne prezentacje


Reklamy Google