Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona."— Zapis prezentacji:

1 Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona.

2 Krztyna teorii Dana jest funkcja f(x). Jeśli jest ona ciągła w przedziale [a,b] i znana jest funkcja F(x) spełniająca warunek: F(x)=dF(x)/dx=f(x) to całkę oznaczoną oblicza się ze wzoru: Jeżeli funkcja F(x) nie istnieje lub jest zbyt trudna do wyznaczenia metodami analitycznymi, można do obliczenia całki oznaczonej użyć metody numerycznej. Potrzebne są do tego wartości w punktach funkcji lub wyznaczone takie wartości w wyniku eksperymentu.

3 Całka i kwadratura a b X Y Całkowanie numeryczne (kwadratura numeryczna) – obliczenie przybliżonej wartości całki przez sumowanie pól tworzących przybliżony obszar całkowania pod krzywą funkcji. Im większa ilość tych podpól (pionowych "pasków" o szerokości Δx), tym dokładniejsze oszacowanie całki – przy nieskończonej ilości równo rozmieszczonych pól jest to po prostu dokładny obszar całki, taki jak ze wzoru na całkę oznaczoną (czyli suma pól o nieskończenie małej szerokości - dx).

4 Metoda Newtona-Cotesa Polega na podzieleniu zakresu całkowania [a,b] na n równych odcinków h ( h=Δx=(b-a)/n ), gdzie miejsca podziału są nazywane "węzłami" interpolacji (x i ). Następnie zliczamy pola kolejnych obszarów ze wspólnego wzoru, znając wartości funkcji w węzłach (lub licząc je na potrzeby całkowania numerycznego). Dokładność wyznaczenia całki zależy od ilości podziałów, a także od tego, ilu węzłów użyjemy do obliczenia pola pojedynczego podpola.

5 Metoda prostokątów a (x i ) b X Y x i+1 (x i +h) x i+2 x i+3 x i +h/2 Metoda polega na obliczeniu sumy pól prostokątów utworzonych przez odcinek między węzłami x i i x i+1 i wysokość w połowie tego odcinka: P = ΣP i = h Σf(x i +h/2)

6 Metoda prostokątów a (x i ) b X Y x i +h/2 a (x i ) b X Y x i+1 (x i +h) x i +h/2

7 Metoda trapezów (Eulera) Metoda polega na obliczeniu sumy pól trapezów utworzonych przez węzły x i i x i+1 oraz wartości w punktach x i i x i+1 : P = ΣP i = h/2Σ(f(x i )+f(x i+1 )) a (x i ) b X Y x i+1 (x i +h) x i+2 x i+3

8 Metoda trapezów (Eulera) a (x i ) b X Y b X Y x i+1 (x i +h)

9 Metoda parabol (Simpsona) Metoda polega na obliczeniu sumy pól pod parabolami utworzonymi na trzech kolejnych węzłach x i, x i+1 i x i+2 : P = ΣP i = h/3Σ(f(x i )+4f(x i+1 )+f(x i+2 )) a (x i ) b X Y x i+1 (x i +h) x i+2 x i+3

10 Metoda parabol (Simpsona) a (x i ) b X Y Nie da się z dwóch węzłów a (x i ) b X Y x i+1 (x i +h)

11 Wzory Metoda prostokątów: P = ΣPi = hΣf(xi+h/2) Metoda Eulera: P = ΣP i = h/2Σ(f(x i )+f(x i+1 )) h/2((f(a)+f(b))+2Σf(x i )) Metoda Simpsona: P = ΣP i = h/3Σ(f(x i )+4f(x i+1 )+f(x i+2 )) h/3((f(a)+f(b))+4Σf(x środkowe )+2Σf(x zewnętrzne )) Podobieństwo wzorów nie jest przypadkowe: wszystkie są zbudowane na członach wielomianu Lagrange'a (ogólna metoda Newtona-Cotesa).

12 Dokładność a potrzeba Jakiej dokładności rzeczywiście trzeba? d = 8,6 km O = 27 km Obliczenia inżynierskie: ε = 3mm / 27km 7 cyfr znaczących Obliczenia teoretyczne: ε = ułamki J vs. dziesiątki MJ 8-9 cyfr znaczących

13 Błędy oszacowania Im mniejsze zakresy (odległości między węzłami), więc im więcej podziałów – tym dokładniejszy wynik; Z powyższego wynika, że im równiejszy podział, tym lepiej (równe podprzedziały); Im wyższego stopnia wielomian przybliża całkę wielomianu wyższego stopnia, tym dokładniejszy wynik (zasadniczo metoda Simpsona jest lepsza od Eulera) – dla danej liczby podziałów i kryterium zbieżności; Im mniejsza krzywizna funkcji, tym dokładniejszy wynik przy danej liczbie podziałów;


Pobierz ppt "Programowanie w VBA Metody numeryczne część 3. Całkowanie metodą Eulera i Simpsona."

Podobne prezentacje


Reklamy Google