Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrangea:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrangea:"— Zapis prezentacji:

1

2 Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrangea: gdzie

3 Dzieląc odcinek [a,b] na N jednakowych części h: x a=x 0 b=x N h x k =a+kh Biorąc pod uwagę, że x k =a+kh mamy: przyjmując: gdzie t [0,N] mamy:

4 Podstawiając zamiast f(x) wielomian interpolacyjny do otrzymujemy:

5 Błąd e N z jakim obliczana jest całka podaje oszacowanie: Metoda trapezów a; 0 x; t b; 1 f(a) f(b) t-1 t

6 błąd e 1 wynosi: Metoda Simpsona a=x 0 x y b=x 2 f0f0 f1f1 f2f

7 Całka obliczana metodą Simpsona jest:

8 Błąd obliczania całki metodą Simpsona jest: Wielomian 3-go stopnia jest całkowany dokładnie! Kwadratury złożone Newtona-Cotesa. x y a b Metoda trapezów

9 Całkę przy podziale odcinka [a,b] na N części liczymy ze wzoru: Obliczenia prowadzimy w schemacie z połowieniem kroku co pozwala wykorzystać poprzednie obliczenia f k : ab

10 Błąd e 1N złożonego wzoru trapezów przy podziale przedziału całkowania [a,b] na N części jest: Przykład: N1248 IpIp I eps

11 Metoda Simpsona liczba punktów podziału jest N=2 M i całka I N określona jest wzorem: Ocena błędu:

12 Przykład: N248 IpIp I eps Formalna ocena błędu jeszcze gorsza ze względu na czwartą pochodną.

13 Metoda Romberga Ogólna metoda przyśpieszania zbieżności Ogólnie wzór kwadratur dla całki ma postać: Załóżmy, że resztę można przedstawić w postaci: gdzie.

14 Niech n=sp wtedy : Mnożąc przez i przyjmując p=n po odjęciu stronami otrzymuje się:

15 gdzie Definiując: widzimy, że przybliżona wartość całki jest obliczona z dokładnością większą bo wynoszącą Ogólnie po k+1 krokach mamy:

16 Dla wzoru trapezów zachodzi oszacowanie: Zakładając s=2 otrzymuje się: Organizację obliczeń można zapisać w formie tablicy:

17 gdzie elementy macierzy obliczane zgodnie z podanym powyżej algorytmem. Uwaga - przy obliczaniukorzystamy z

18 Przykład Q 1 =0.5 Q 2 = Q 1 1 = Q 4 = Q 1 2 = Q 2 1 =

19 Q 8 = = = = Ocena błędu: eps=0.55% trapezy: 1.65% Simpson: 0.65%

20 Przykład z ograniczoną pochodną: Wstępny krok. Wartość dokładna Q=

21 Błąd względny wynosi: 0.1E-5%.


Pobierz ppt "Metody całkowania numerycznego Obliczana jest całka: Wzory Newtona - Cotesa na węzłach równoodległych Interpolujemy funkcję f(x) za pomocą wzoru Lagrangea:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google