Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Modelowanie i symulacja WYKŁAD 5,6. Ogólna postać układu równań różniczkowych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Modelowanie i symulacja WYKŁAD 5,6. Ogólna postać układu równań różniczkowych."— Zapis prezentacji:

1 Modelowanie i symulacja WYKŁAD 5,6

2 Ogólna postać układu równań różniczkowych

3 Formułowania ODE - przykład

4 II zasada dynamiki Newtona: F=ma

5 Formułowania ODE - przykład Zasada Galileusza: składowe ruchu w ortogonalnych kierunkach x,y można rozpatrywać niezależnie

6 Formułowania ODE - przykład Chcemy znać trajektorię, a więc współrzędne x, y w poszczególnych chwilach czasu t Przejście do zrealizowania: siły przyspieszenia prędkości położenia Z definicji:

7 Formułowania ODE - przykład Z definicji Potrzebne jest podwójne całkowanie

8 Formułowania ODE - przykład W kierunku x:

9 Formułowania ODE - przykład

10

11

12 Bardziej realistyczne zjawisko: zamiast rzutu ukośnego – wystrzał rakiety oprócz siły ciążenia – działa siła ciągu silnika działa także siła oporu powietrza masa rakiety zmienia się w czasie lotu

13 Formułowania ODE - przykład Sposób postępowania jest analogiczny, jednak całkowanie symboliczne, w zależności od zależności siły ciągu i masy od czasu może być skomplikowane

14 Całkowanie numeryczne - schemat Eulera Leonhard Euler ( )

15 Redukcja równania wyższego rzędu do niższego rzędu Pierwotne równanie: Podstawienie: Powstaje układ równań:

16 Schemat Eulera Równanie różniczkowe w postaci normalnej: Rozwinięcie Taylora:

17 Schemat Eulera Jeżeli znana jest wartość szukanej trajektorii y(t 0 ) w pewnym momencie czasu t 0, to można w przybliżeniu obliczyć wartość trajektorii dla niedalekiej chwili czasu t 0 +h Potrzebna jest do tego znajomość pochodnej trajektorii w chwili t 0, czyli wartość funkcji f(y(t 0 ),t 0 ) Ta informacja dana jest przez równanie różniczkowe

18 Schemat Eulera Trzeba zacząć od pewnego znanego punktu np. y(0) Przedział, w którym ma być wyznaczona trajektoria, to np. [0,t k ] Przedział ten jest dzielony równomiernie na ciąg podprzedziałów o długości h (krok całkowania)

19 Schemat Eulera Zaczynając od znanej wartości y(0) powtarza się iteracyjnie przepis: dochodząc wreszcie do punktu końcowego t k Zapis oznacza przybliżoną wartość y(t i )

20 Schemat Eulera Cały proces nazywany jest całkowaniem numerycznym Rozwiązanie równania różniczkowego polega na jego scałkowaniu

21 Schemat Eulera

22 Przybliżenie: jest tym lepsze, im mniejsze jest h

23 Schemat Eulera

24

25 Pole kierunkowe – ilustracja informacji podanej przez równanie różniczkowe Prezentacja DField i PPlane

26 Błędy schematu Eulera

27 Błąd lokalny (obcięcia) Wynika z obciętego rozkładu Taylora

28 Błąd lokalny (obcięcia) Wynika z aproksymacji liniowej, czy też różnicowego oszacowania pochodnej: Błąd lokalny jest rzędu Dwukrotne zmniejszenie kroku zmniejsza błąd o 75%

29 Błąd globalny Nie jest po prostu sumą błędów lokalnych Błędem jest obarczona także informacja o pochodnej, ponieważ jest wyznaczana na podstawie przybliżonego rozwiązania cząstkowego Dla schematu Eulera globalny błąd jest rzędu O(h)

30 Zagrożenie rozbieżności

31 Zagadnienie zbieżności Czy jeśli h dąży do zera, to błąd dąży do zera? A jeśli błąd dąży do zera, to jaka szybka jest zbieżność, tzn. na ile mały musi być krok, żeby osiągnąć pożądany poziom błędu?

32 Modyfikacja schematu Eulera Zamiast: Stosujemy: Czyli pochodna jest brana z końca przedziału całkowania

33 Modyfikacja schematu Eulera

34 Te same oszacowania błędów Jednak odwrócony schemat Eulera jest zwykle bardziej stabilny i dokładniejszy Odwrócony schemat Eulera nie jest metodą bezpośrednią – wyznaczana wartość występuje po obu stronach przepisu

35 Poprawa schematu Eulera Prosty schemat Eulera – reprezentantem pierwszej pochodnej w całym przedziale jest wartość z początku przedziału Odwrócony schemat Eulera – reprezentantem pierwszej pochodnej w całym przedziale jest wartość z końca przedziału Twierdzenie o wartości pośredniej:

36 Poprawa schematu Eulera Twierdzenie o wartości pośredniej Równość jest dokładna! Trzeba tylko wiedzieć, jaka jest wartość p Wartość pochodnej wyznaczona w odpowiednim punkcie przedziału umożliwiłaby osiągnięcie zerowego błędu

37 Poprawa schematu Eulera

38

39 Schemat Heuna Błąd lokalny – proporcjonalny do h 3 Błąd globalny – do h 2

40 Metoda konstruowania schematów wyższych rzędów Różnicowe przybliżenie drugiej pochodnej Rozwinięcie Taylora drugiego rzędu:

41 Runge-Kutta Martin Wilhelm Kutta (1867 – 1944)Carl David Runge (1856 – 1927)

42 Metoda Runge-Kutta 4-tego rzędu


Pobierz ppt "Modelowanie i symulacja WYKŁAD 5,6. Ogólna postać układu równań różniczkowych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google