Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Rozkład LU. Metoda Croutea. Rozkład na macierze trójkątne Dana jest macierz A i przedstawiamy ją w postaci: A=LU gdzie macierz L jest macierzą dolną trójkątną:

Коpie: 1
Rozkład LU. Metoda Croutea. Rozkład na macierze trójkątne Dana jest macierz A i przedstawiamy ją w postaci: A=LU gdzie macierz L jest macierzą dolną trójkątną:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Rozkład LU. Metoda Croutea. Rozkład na macierze trójkątne Dana jest macierz A i przedstawiamy ją w postaci: A=LU gdzie macierz L jest macierzą dolną trójkątną:"— Zapis prezentacji:

1

2 Rozkład LU. Metoda Croutea. Rozkład na macierze trójkątne Dana jest macierz A i przedstawiamy ją w postaci: A=LU gdzie macierz L jest macierzą dolną trójkątną:

3 lub ogólnie: Macierz U górna trójkątna: lub ogólnie:

4 Jeżeli A=LU, to dla układu równań AX=b mamy: Rozwiązanie układu LY=b z dolną macierzą trójkątną jest łatwe: i=2,3,...,N

5 i rozwiązanie równania UX=Y z górną macierzą trójkątną jest łatwe: i=N-1,N-2,...,1 Duża zaleta: Znając rozkład LU możemy go wykorzystać wielokrotnie dla różnych prawych stron.

6 Obliczanie wyrazów macierzy L i U w wyniku mnożenia obu macierzy mamy macierz B=[b ij ] Zaczynamy kolejno: pierwszy wiersz macierzy L razy k-ta kolumna macierzy U: k-ty wiersz macierzy L razy pierwszy wiersz macierzy U:

7 k-ty wiersz macierzy L razy j-ta (j k) kolumna macierzy U: j-ty wiersz (j>k) macierzy L razy k-ta kolumna macierzy U:

8 ponieważ musi zachodzić B=A, czyli b ij =a ij dla (i,j=1,2,...,N) stąd otrzymujemy kolejno: Pierwszy wiersz macierzy U: pierwsza kolumna macierzy L: k-ty wiersz macierzy U: dla j=k,k+1,...,N k-ta kolumna macierz L: dla j=k+1,k+2,...,N

9 Przykład: Zgodnie z: pierwszy wiersz macierzy U:

10 Pierwsza kolumna macierzy L zgodnie zgdzie u 11 =4

11 drugi wiersz macierzy U zgodnie ze wzorem: j=2,3,4,5

12 j=3,4,5 Druga kolumna macierzy L:

13 trzeci wiersz macierzy U zgodnie ze wzorem: j=3,4,5

14 j=4,5 trzecia kolumna macierzy L:

15 czwarty wiersz macierzy U zgodnie ze wzorem: j=4,5

16

17 j=5 czwarta kolumna macierzy L:

18

19 i ostatecznie u 55 z zależności:

20

21 Dla sprawdzenia czy nie popełniliśmy błędu obliczamy: B=LU

22 Mając macierz A=LU możemy rozwiązać równanie LUX=b dla dowolnego wektora prawej strony.

23 Znając rozkład LU macierzy łatwo obliczyć wyznacznik główny |A| macierzy A=LU. Mamy: ale a i ostatecznie:

24

25 Obliczanie macierzy odwrotnej Dana macierz: Macierz odwrotna : AA -1 =1 i A -1 A=1 Oznaczając: X=A -1 mamy N układów N równań liniowych: AX=1 Metoda Gaussa - Jordana

26 Dla określenia macierzy odwrotnej X mamy równanie:

27 Zapisujemy w postaci tablicy uzupełnionej: i procedura eliminacji Gaussa – Jordana:

28 Ponieważ pierwsze dwie kolumny już nie ulegną zmianie dlatego ze względu na oszczędność miejsca zostaną usunięte

29 Pomijamy pierwszą kolumnę

30 Pomijamy pierwszą kolumnę:

31 i otrzymujemy macierz odwrotną:

32 Sprawdzamy poprawność obliczonej macierzy odwrotnej obliczając AA -1

33 Macierz odwrotną można również obliczyć korzystając z rozkładu LU Niech A=LU mamy rozwiązać N układów N równań algebraicznych: LUX=1 oznaczając: Y=UX mamy: LY=1

34 Postępowanie jest proste: Krok pierwszy – rozwiązujemy N - krotnie układ N równań z dolną macierzą trójkątną L wyznaczając Y: LY=1 Krok drugi – rozwiązujemy N – krotnie układ N równań z górną macierzą trójkątną U wyznaczając macierz odwrotną A -1 =X: UX=Y

35 Dana macierz: i

36 LY=1 Równanie jest

37 Macierz odwrotna do dolnej trójkątnej też jest macierzą dolną trójkątną i w przypadku macierzy L główna przekątna to 1 czyli

38 Pozostałe wyrazy macierzy Y wyznaczamy rozpoczynając od pierwszej kolumny i kolejno następne: Pozostaje do rozwiązania równanie: UX=Y

39 Startujemy kolejno od pierwszej kolumny kolejno do piątej, a niewiadome w kolumnach wyznaczamy od ostatniej tj. x Nk

40 Dla porównania macierz odwrotna obliczona metodą Gaussa - Jordana

41 Interpolacja funkcji Dane wartości funkcji y n w punktach x n, gdzie n=0,1,2,....N-1. x y x0x0 y0y0 xnxn ynyn x N-1 y N-1

42 Interpolacja wielomianowa Twierdzenie Istnieje dokładnie jeden wielomian stopnia co najwyżej N (N>=0), który w punktach x 0, x 1,...,x N-1 przyjmuje wartości y 0,y 1,...,y N-1. Wzór interpolacyjny Lagrange'a: gdzie jest wielomianem stopnia co najwyżej N.

43 Z warunku interpolacyjnego: powyższy układ N równań można najprościej rozwiązać przyjmując dla wielomianów k (x) następujące warunki : jako wielomian k (x) należy wybrać taki, który ma miejsca zerowe we wszystkich punktach interpolacji z wyjątkiem punktu x k, w którym funkcja ma wartość 1 Rozwiązaniem jest wielomian :

44 z warunku: otrzymuje się: Wielomian Lagrange'a przyjmuje postać: Ocena błędu interpolacji:

45 Przykład 1. Zbudować wielomian interpolacyjny dla funkcji exp(x) w przedziale [1,2] bazując na 5 węzłach interpolacyjnych. Wybierzmy węzły równomiernie czyli

46 mamy: xixi yiyi Wielomian Lagrangea jest:

47 lub Wyniki obliczeń przedstawiono na wykresie:

48 Dla lepszej oceny wykres błędu względnego:

49

50 Przykład 2. W wyniku pomiarów zdjęto pierwotną krzywą magnesowania B=F(H). Zbudować wielomian interpolacyjny Lagrange'a dla zakresu 0<=H <=3000A/m. H[A/m] B[T] Kolejne wielomiany k (H) dla k=0,1,...8 są: lub po obliczeniu mianownika mamy:

51

52 i wielomian aproksymacyjny jest lub

53 Otrzymany wynik jest niemożliwy do przyjęcia!!!

54 Aproksymacja liniowa odcinkami: H[A/m] B[T] dla lub po wykonaniu działań: dla i podobnie: dla

55

56 B(H)

57 Porównanie Ba(H) – interpolacja liniowa B(H) – wielomian 8-go stopnia


Pobierz ppt "Rozkład LU. Metoda Croutea. Rozkład na macierze trójkątne Dana jest macierz A i przedstawiamy ją w postaci: A=LU gdzie macierz L jest macierzą dolną trójkątną:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google