Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

IV Tutorial z Metod Obliczeniowych Interpolacja i aproksymacja Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "IV Tutorial z Metod Obliczeniowych Interpolacja i aproksymacja Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo."— Zapis prezentacji:

1 IV Tutorial z Metod Obliczeniowych Interpolacja i aproksymacja Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo

2 Interpolacja - wstęp Celem interpolacji jest wyznaczenie wartości funkcji na zadanym przedziale [a,b], gdy znane są jej wartości tylko na brzegach przedziału oraz dla pewnej liczby punktów z tego przedziału.

3 Interpolacja - wstęp -interpolację stosuje się dla niewielkiej liczby punktów pomiarowych -najczęściej wykorzystuje się kilka funkcji przybliżających, gdyż znalezienie jednej funkcji dla większej liczby punktów jest trudne lub wręcz niemożliwe -poszukiwana funkcja interpolacyjna lub funkcje interpolacyjne muszą przechodzić przez wszystkie punkty pomiarowe

4 Interpolacja - zastosowanie -interpolacja służy najczęściej do wyznaczenia wartości funkcji w punktach pośrednich -pozwala zastąpić skomplikowany wzór funkcjami prostszymi np. liniowymi -w praktyce inżynierskiej interpolacja jest stosowana przy obróbce wyników badań doświadczalnych, np. przy zagadnieniach identyfikacji właściwości materiałowych

5 Rodzaje interpolacji Przeprowadzenie interpolacji wymaga przyjęcia pewnej z góry założonej postaci poszukiwanej funkcji. W zależności od tej postaci najczęściej się stosuje interpolacje: wielomianową Newtona (liniowa, kwadratowa, sześcienna …) wielomianową Czebyszewa wielomianową Hermitea wielomianową Lagrangea trygonometryczną (np. szeregami Fouriera)

6 Zagadnienie interpolacyjne

7 Interpolacja liniowa

8

9

10 Interpolacja kwadratowa

11

12

13

14

15 Interpolacja Newtona dla wielomianu dowolnego stopnia

16

17 Gdzie funkcje z nawiasami kwadratowymi oblicza się z zależności rekurencyjnych:

18 Interpolacja sześcienna Interpolacja sześcienna jest szczególnym przypadkiem interpolacji Newtona dla n=3:

19 Interpolacja sześcienna

20 Interpolacja – treść zadania POLECENIE: Posługując się gotowym algorytmem interpolacji lub aproksymacji funkcji znaleźć podane w treści zadania wartości zadanej funkcji. 1.Na podstawie algorytmu podanego w skrypcie napisać funkcję interpolującą lub aproksymującą. 2.Współrzędne zadanych i poszukiwanych punktów zapisać w zbiorze dane1.m 3.Napisać program wczytujący zbiór z danymi, a następnie posługując się zdefiniowaną funkcją wyznaczyć wartości funkcji w zadanych punktach. 4.Sporządzić wykres przedstawiający funkcję z zaznaczonymi punktami zadanymi i wyliczonymi.

21 Interpolacja – algorytm rozwiązania Wczytanie danych w programie: Na laboratorium dane należy wczytywać z pliku dane1.m. Wyznaczenie brzegów przedziału [minx,maxx]. Wczytanie do zmiennej n liczby punktów poszukiwanych.

22 Interpolacja liniowa – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Zaimplementowanie do programu wzoru: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Potrzeba stworzenia funkcji interpolacyjnej !!!

23 Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Uruchomienie funkcji interpolującej dwumian, przekazanie do niej współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów poszukiwanych.

24 Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Funkcja interpolująca dwumian(): Wykorzystanie w funkcji dwumian() wcześniej zaprezentowanych wzorów:

25 Interpolacja sześcienna – algorytm rozwiązania Obliczenie współrzędnych poszukiwanych punktów: Sprawdzenie czy punkt należy do przedziału [minx,maxx]. Obliczenie numeru najmniejszego elementu większego od poszukiwanego punktu Uruchomienie funkcji interpolującej cub, przekazanie do niej współrzędnych danych punktów oraz odciętych punktów poszukiwanych.

26 Interpolacja – algorytm rozwiązania Funkcja interpolująca cub(): Wykorzystanie w funkcji cub() wcześniej zaprezentowanych wzorów:

27 Interpolacja kwadratowa – algorytm rozwiązania Sporządzenie wykresu: - wypisanie wyników w Command Window Narysowanie punktów danych oraz wyliczonych z interpolacji Dla interpolacji liniowej łatwo można narysować przebieg funkcji, gdyż wystarczy połączyć dane w zadaniu punkty.

28 Interpolacja – wynik rozwiązania metodą numeryczną dla interpolacji liniowej

29 Aproksymacja - wstęp Celem aproksymacji jest wyznaczenie przybliżonego przebiegu funkcji dla danego zbioru punktów, w których znane są wartości funkcji (np. punkty pomiarowe).

30 Aproksymacja - wstęp -aproksymację stosuje się dla znacznej liczby punktów pomiarowych -w aproksymacji poszukuje się jednej funkcji przybliżającej, która nie musi przechodzić przez wszystkie punkty pomiarowe -wobec tego w każdym punkcie pomiarowym pojawia się różnica (błąd) między wartością pomierzonej funkcji a wartością funkcji aproksymującej

31 Aproksymacja – kryteria błędów W aproksymacji poszukuje się takiej funkcji przybliżającej, dla której błąd przybliżenia punktów pomiarowych będzie najmniejszy. Najczęściej stosowane kryteria błędów: - kryterium minimum sumy błędów - kryterium minimum wartości bezwzględnej błędów -kryterium minimum błędu maksymalnego -kryterium minimum sumy kwadratów błędów

32 Aproksymacja – kryteria błędów Dla liniowej funkcji aproksymującej: Kryteria obliczania błędu: Definiowane są następująco: Minimum sumy błędów: Minimum sumy wartości bezwzględnych błędów: Kryterium minimum błędu maksymalnego (tzw. Kryterium minimax):

33 Aproksymacja – kryteria błędów Minimum sumy kwadratów – metoda najmniejszych kwadratów: Kryterium te jest najczęściej stosowane, ze względu na otrzymywaną najbardziej pożądaną postać funkcji przybliżającej.

34 Rodzaje aproksymacji W zależności od przyjętego sposobu oszacowania błędu aproksymacji, wyróżnia się trzy rodzaje aproksymacji: aproksymacja interpolacyjna – sprowadza się do interpolacji jedną funkcją całego przedziału aproksymacja jednostajna – aproksymacja w której jako kryterium minimalizacji błędów przyjmuje się kryterium minimax aproksymacja średniokwadratowa – metoda najmniejszych kwadratów

35 Aproksymacja – metoda najmniejszych kwadratów Aproksymacja średniokwadratowa jest najczęściej stosowanym sposobem aproksymacji. Posiada wiele wariantów, tutaj przyjęto wariant liniowy metody. Żądamy w niej, aby zostało spełnione kryterium minimum sumy kwadratów błędów. Jeśli wartości funkcji dane są w punktach, to szukamy funkcji aproksymującej jako kombinacji liniowej pewnych funkcji : Gdzie: l – liczba funkcji aproksymujących jest dużo mniejsza od n – liczby punktów, w których dana jest wartość funkcji.

36 Aproksymacja – metoda najmniejszych kwadratów

37 Minimum wariancji H możemy obliczyć przyrównując jej pochodną do zera: Otrzymujemy układ l równań o l niewiadomych Gdzie:

38 Aproksymacja – metoda najmniejszych kwadratów

39 Ocena dokładności aproksymacji

40 Wariancja H wyraża średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (błędów) wartości funkcji od obliczonej wartości średniej funkcji w poszukiwanych punktach. gdzie: jest wartością średnią funkcji w punktach poszukiwanych. Ponieważ wariancja rośnie wraz ze wzrostem n, stosuje się średnią wartość wariancji – tzw. odchylenie standardowe:

41 Ocena dokładności aproksymacji

42

43 Aproksymacja – algorytm rozwiązania Wczytanie danych w programie: Na laboratorium dane należy wczytywać z pliku dane1.m. Zmienna m jest zwiększana o jeden ponieważ wielomian n stopnia ma n+1 niewiadomych współczynników

44 Aproksymacja – algorytm rozwiązania Obliczenie elementów pomocniczych macierzy A i B: Sprawdzenie czy użytkownik wczytał wystarczającą liczbę punktów do zdefiniowania wielomianu stopnia m-1 Obliczenie elementów macierzy A i B zgodnie z poniższymi wzorami: Potrzeba stworzenia oddzielnej funkcji aproksymacyjnej !!!

45 Aproksymacja – algorytm rozwiązania

46 Obliczenie na podstawie funkcji aproksymującej wartości funkcji w punktach poszukiwanych : Narysowanie wykresu funkcji aproksymującej z zaznaczeniem punktów danych i poszukiwanych:

47 Prezentacja została wykonana na podstawie skryptu: METODY NUMERYCZNE W MECHANICE KONSTRUKCJI z przykładami w programie MATLAB prof. dr hab. inż. Paweł Kłosowski dr inż. Andrzej Ambroziak Wydawnictwo Politechniki Gdańskiej

48 Dziękuje za uwagę


Pobierz ppt "IV Tutorial z Metod Obliczeniowych Interpolacja i aproksymacja Karol Daszkiewicz Koło Naukowe Mechaniki Budowli KoMBo."

Podobne prezentacje


Reklamy Google