Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu Dany jest układ różniczkowych Należy znaleźć jego rozwiązanie x(t) dla warunków.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu Dany jest układ różniczkowych Należy znaleźć jego rozwiązanie x(t) dla warunków."— Zapis prezentacji:

1 Zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu Dany jest układ różniczkowych Należy znaleźć jego rozwiązanie x(t) dla warunków początkowych zadanych przez x(t 0 ).

2 Przykłady problemów które można zapisać bezpośrednio jako układu równań różniczkowych rzędu pierwszego: 1.Kinetyka chemiczna (x jest stężeniem lub w ogólności postępem reakcji a t czasem). 2.Obliczanie trajektorii wewnętrznej współrzędnej reakcji (Intrinsic Reaction Coordinate; IRC); wtedy x jest wektorem współrzędnych układu reagującego a t współrzędną reakcji ( ). Obliczenia startuje się z punktu siodłowego w dwóch kierunkach określonych przez wektor własny hesjanu odpowiadający ujemnej wartości własnej.

3 x1x1 x2x2 NH 3...HCl NH Cl - NH 3...H...Cl H3NH3N H Cl x1x1 x2x2 E E

4 Dygresja: jeżeli prawa strona jest układem funkcji liniowych względem x (tak jak w kinetyce reakcji pierwszego rzędu) to rozwiązanie jest analityczne i ma postać kombinacji liniowej funkcji eksponencjalnych:

5 Często nie jest aż tak prosto (przykład: reakcje Biełousowa-Żabotyńskiego).

6 Numeryczne rozwiązywanie zagadnienia początkowego: ogólnie. Dzielimy przedział [t 0, ] w którym szukamy rozwiązania na N odcinków t 0

7 Ogólny podział metod numerycznych rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu: 1.Metody jednokrokowe: do obliczenia x w kolejnym kroku t wykorzystują tylko wartości x z poprzedniego kroku (np. metoda Eulera- Cauchyego,metoda Rungego-Kutty). 2.Metody wielokrokowe: wykorzystują wartości x z kilku kroków wstecz (np. metoda Adamsa-Bashforda, metoda Adamsa-Stromera). 3.Metody ekstrapolacyjne: wykorzystują kwadraturę Romberga. 4.Metody predyktora i korektora: w danym kroku t najpierw oblicza się przewidywane wartości x (krok predykcyjny) a potem się je udokładnia (krok korekcyjny) (np. algorytm Geara). Tych metod można używać w połączeniu zarówno z metodami jedno- jak i wielokrokowymi.

8 Metoda Eulera-Cauchyego t1t1 t2t2 t3t3 t3t3 t4t4 t5t5 t f t1t1 t2t2 t3t3 t3t3 t4t4 t5t5 t x rozwiązanie dokładne rozwiązanie przybliżone Błąd popełniany w i-tym kroku całkowania (lokalny) Całkowity błąd którym obarczone jest rozwiązanie w i-tym punkcie (globalny)

9 Udoskonalona metoda Eulera-Cauchyego (drugiego rzędu)

10 Metoda predyktora-korektora Heuna

11 Metody Rungego-Kutty Sformułowanie ogólne: m qgqg Rząd zbieżności metod Rungego-Kutty w zależności od m m=1: metoda Eulera-Cauchyego m=2: ulepszona metoda Eulera-Cauchyego lub metoda Heuna m=4: klasyczna metoda Rungego-Kutty.

12 Klasyczna metoda Rungego-Kutty

13 x y Porównanie metody Eulera-Cauchyego, zmodyfikowanej metody Eulera-Cauchyego oraz metody Rungego-Kutty dla zagadnienia z h=0.5

14 Metody implicite Rungego-Kutty W najprostszej wersji (m=2 wychodzimy z ulepszonej metody Eulera- Cauchyego i doprowadzamy do samouzgodnienia wartości f na końcu przedziału: Ogólnie, dla rzędu m prowadzimy kwadraturę Gaussa-Legendrea (z węzłami w miejscach zerowych wielomianu Legendrea rzędu m). Globalny błąd rozwiązania jest wtedy rzędu O(h 2m ) (w porównaniu z O(h m ) dla formuł explicite Rungego-Kutty.

15 Dla m=2.

16 Metody wielokrokowe W metodzie s-krokowej do całkowania wykorzystujemy wartości X i f obliczone w s poprzednich krokach. Przez te punkty prowadzimy wielomian interpolacyjny s (t)= s (t,X(t)), który następnie całkujemy. Przykład: metoda Adamsa-Bashforda z wykorzystaniem trzech kroków wstecz.

17 Metoda Geara dla układów sztywnych n b0b0 12/36/1112/1360/13760/147 a1a1 14/318/1148/25300/137360/147 a2a2 -1/3-9/11-36/25-300/ /147 a3a3 2/1116/25300/137400/147 a4a4 -3/25-75/ /147 a5a5 12/13772/147 a6a6 -10/147

18 Zagadnienie brzegowe dla równań drugiego rzędu. Całkowanie równań dynamiki molekularnej

19 Algorytm Verleta:

20 Prędkościowy algorytm Verleta (velocity Verlet) Krok 1: Krok 2:

21 Algorytm zabiego skoku (leapfrog): Wszystkie trzy algorytmy są algorytmami symplektycznymi, tj, całkowita energia układu oscyluje wokół pewnej stałej wartości bliskiej początkowej energii całkowitej (inaczej: zachowują cień hamiltonianu (shadow Hamiltonian). Takiej właściwości nie mają wszystkie algorytmy dynamiki molekularnej (np. algorytm Geara). Algorytmy symplektyczne zaprojektowano również do symulacji MD w warunkach izokinetycznych (stała temperatura) oraz izotermiczno- izobarycznych (stała temperatura i ciśnienie).

22 Energia kinetyczna Energia potencjalna Energia całkowita Energia [kcal/mol] Czas [ns] Zależność składowych energii i energii całkowitej od czasu dla symulacji MD Ac-Ala 10 -NHMe (Khalili et al., J. Phys. Chem. B, 2005, 109, )

23 Literatura dotycząca algorytmów całkowania równań dynamiki molekularnej: 1.Frenkel, D.; Smit, B. Understanding molecular simulations, Academic Press, 1996, rozdział 4. 2.Calvo, M. P.; Sanz-Serna, J. M. Numerical Hamiltonian Problems; Chapman & Hall: London, U. K., Verlet, L. Phys. Rev. 1967, 159, Swope, W. C.; Andersen, H. C.; Berens, P. H.; Wilson, K. R. J. Chem. Phys. 1982, 76, Tuckerman, M.; Berne, B. J.; Martyna, G. J. J. Chem. Phys. 1992, 97, Ciccotti, G.; Kalibaeva, G. Philos. Trans. R. Soc. London, Ser. A 2004, 362, 1583.


Pobierz ppt "Zagadnienie początkowe dla równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu Dany jest układ różniczkowych Należy znaleźć jego rozwiązanie x(t) dla warunków."

Podobne prezentacje


Reklamy Google