Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr:"— Zapis prezentacji:

1 Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr: VII

2 Cel pracy Celem pracy jest utworzenie programu całkującego równanie ruchu układu drgającego o jednym stopniu swobody metodą Rungego - Kutty. Należy znaleźć funkcje określające położenie oraz prędkość masy. W tym celu trzeba rozwiązać równie różniczkowe ruchu, które dla danego układu przybiera postać:

3 Wzory Rungego - Kutty Najlepszą metodą przybliżonego rozwiązania równań różniczkowych zwyczajnych oraz ich układów, nadającą się dla elektronicznych maszyn cyfrowych, jest metoda Rungego - Kutty (RK). Metoda RK drugiego rzędu, dla równania Wykorzystuje się tu wzory:

4 Wzory Rungego – Kutty c.d. Proces obliczeniowy jest następujący: (I) Należy wybrać wielkość kroku całkowania h. (II) Ze wzorów oblicza się k 1 i k 2. (III) Ze wzoru oblicza się y n+1. Przy obliczaniu y n+2, y n+3,.... powtarza się kolejno kroki (I), (II), (III).

5 Wzory Rungego – Kutty c.d. Formuły trzeciego rzędu: k 1 = hf(x 0, y 0 ) k 2 = hf(x 0 +h/2, y 0 +k 1 /2) k 3 = hf(x 0 + h/2, y 0 + k 2 /2) k 4 = hf(x 0 + h, y 0 + k 3 ) Δy = (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ). k 1 = hf(x 0, y 0 ) k 2 = hf(x 0 +h/2, y 0 +k 1 /2) k 3 = hf(x 0 + h, y 0 - k 1 + 2k 2 ) Δy = (k 1 + 4k 2 + k 3 ), formuły czwartego rzędu:

6 Oszacowanie błędu Znając już wartość funkcji y n =y(x n ), oblicza się ze wzorów określonych metodą RK wartość [1]y n+1 =y(x n +h). Następnie powtarza się obliczenia, ale z krokiem dwa razy mniejszym (h/2), tak że po dwukrotnym zastosowaniu wzorów RK oblicza się ponownie wartość [2]y n+1 =y(x n +h). Można teraz łatwo sprawdzić przybliżoną wartość błędu gdzie k jest rzędem metody.

7 Program komputerowy Program umożliwia numeryczne rozwiązanie równań opisujących drgania nieliniowe układu używając w tym celu wzorów Rungego – Kutty czwartego rzędu: gdzie: m – masa, c – tłumienie, k – sztywność sprężyny, k*- nieliniowość. Zakładamy również warunki początkowe x(0) oraz.

8 Program komputerowy c.d. Powyższe równanie należy zapisać w postaci dwóch równań pierwszego rzędu: Warunki początkowe x 1 (0) oraz x 2 (0).

9 Rozwiązanie

10 Rozwiązanie c.d.

11 Dla drugiego kroku Dla trzeciego kroku Wyniki otrzymane przy pomocy programu RK.

12 Wnioski Różnice pomiędzy otrzymanymi wynikami w obydwu programach są bardzo niewielkie i wynikają z dokładności obliczeń poszczególnych programów. Metoda Rungego – Kutty, ze względu na nie skomplikowany proces programowania oraz dużą dokładność otrzymywanych wyników jest wykorzystywana do rozwiązywania równań różniczkowych w wielu programach (np. MATLAB).

13 Literatura [1] Rao S. S.: Mechanical vibrations. Addison-Wesley Publishing Company, 1986 [2] Jan Kruszewski, Stefan Sawiak, Edmund Wittbrodt.: Wspomaganie komputerowe CAD/CAM Metoda sztywnych elementów skończonych w dynamice konstrukcji.Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa [3] Jean Legras: Praktyczne metody analizy numerycznej. Wydawnictwa Naukowo – Techniczne, Warszawa 1974.


Pobierz ppt "Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą Rungego - Kutty Wykonał: Łukasz Klof Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Specjalność: Mechanika Komputerowa Semestr:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google