Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Różniczkowanie numeryczne symetryczny iloraz różnicowy niesymetryczny iloraz różnicowy.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Różniczkowanie numeryczne symetryczny iloraz różnicowy niesymetryczny iloraz różnicowy."— Zapis prezentacji:

1 Różniczkowanie numeryczne symetryczny iloraz różnicowy niesymetryczny iloraz różnicowy

2 Wzory powyższe można wyprowadzić różniczkując wielomian interpolacyjny odpowiednio o węzłach w x i x+h (wielomian pierwszego stopnia) lub x-h, i oraz x+h (wielomian drugiego stopnia). f(x-h) f(x) x y f(x+h) x-h x+h

3 Za wartość h można przyjąć liczbę rzędu pierwiastka kwadratowego dokładności obliczania wartości funkcji czyli w ogromnej większości przypadków dokładność maszynową. Z jednej strony zmniejszenie h daje teoretycznie lepsze przybliżenie pochodnej ilorazem różnicowym ale z drugiej strony zbyt małe h powoduje że przy odejmowaniu bliskich sobie wartości funkcji tracimy dużo cyfr znaczących. Dla liczb podwójnej precyzji gdzie = h= Pochodne cząstkowe pierwszego obliczamy numerycznie w identyczny sposób inkrementując kolejne zmienne. Wynikiem jest wektor pochodnych (gradientu). Jeżeli chcemy obliczyć pochodne cząstkowe tylko w jednym punkcie to symetryczne ilorazy różnicowe są 2 razy droższe od niesymetrycznych.

4 Drugie pochodne: wzór drugiego rzędu (3 punkty) Drugie pochodne: inny wzór drugiego rzędu (4 punkty)

5 Całkowanie numeryczne p(x) – funkcja wagowa (zwykle stała) S(f): kwadratura x 1, x 2,..., x N : węzły kwadratury Mamy dwa rodzaje kwadratur: kwadratury Newtona- Coatesa i kwadratury Gaussa.

6 Kwadratury Newtona-Cotesa W kwadraturze Newtona-Coatesa rzędu N przybliżamy funkcję podcałkową przez wielomian interpolacyjny Lagrangea stopnia N o równoodległych węzłach. Funkcja wagowa p(x)=1. Kwadratura prosta: jeden wielomian dla całego przedziału całkowania (mało praktyczne). Kwadratura złożona: przedział całkowania dzieli się na podprzedziały i w każdym prowadzi się odpowiedni wielomian interpolacyjny.

7 Błąd kwadratury Rząd kwadratury (r)

8 N=1: wzór trapezów kwadratura prosta kwadratura złożona x1x1 y x o =a x2x2 x n =b błąd

9 N=2: wzór Simpsona kwadratura prosta kwadratura złożona błąd

10 Schemat Romberga Dzielimy przedział całkowania na 2 i segmentów. Następnie definiujemy (wzór trapezów): Z wartości T oi można następnie wyliczyć przybliżenia całki odpowiadające wzorowi parabol (Simpsona) (T 1i ):

11 Ogólnie dla kwadratury m-tego rzędu:

12 Kwadratury McLaurina x 1 (x 0 +h) y x o =a x n =b x 2 (x 0 +2h) f(x 0 +h/2) f(x 1 +h/2) f(x 2 +h/2) Kwadratura prosta Kwadratura złożona

13 Kwadratury Gaussa Kwadraturą Gaussa nazywamy kwadraturę o maksymalnym rzędzie przy ustalonej liczbie węzłów. Jeżeli liczba węzłów wynosi N+1 to maksymalny rząd kwadratury wynosi 2(N+1). Węzły nie są równoodległe (zaleta: można całkować numerycznie w przedziałach nieograniczonych). Do kwadratur Gaussa używa się wielomianów ortogonalnych.

14 Kwadratury Gaussa-Legendrea (przedział całkowania skończony, funkcja podcałkowa ograniczona) x k są kolejnymi pierwiastkami wielomianu Legendrea P N+1wielomianu Legendrea

15 5 pierwszych wielomianów Legendrea

16 Węzły i współczynniki kwadratur Gaussa- Legendrea dla N=1, 2, 3, 4 NkWęzły x k Współczynniki A k 10; 11 20; 2 1 5/9 8/9 30; 3 1; ;4 1;

17 Błąd kwadratury Gaussa-Legendrea

18 Kwadratury Gaussa-Jacobiego (przedział całkowania skończony ale funkcja podcałkowa nie musi być ograniczona) Wielomiany ortogonalne są wielomianami Jacobiegowielomianami Jacobiego

19 Błąd kwadratury Gaussa-Jacobiego

20 Jeżeli = =-1/2 mamy kwadratury Czebyszewa z wielomianami Czebyszewa, T n (x). wielomianami Czebyszewa

21 Przykład zastosowania kwadratury Gaussa- Czebyszewa Wartość dokładna: f(y) p(y)

22 Kwadratury Gaussa-Laguerrea dla przedziału (0, x k – pierwiastki wielomianu Laguerrea stopnia n+1 Wielomiany Laguerrea

23 Kwadratury Gaussa-Hermitea dla przedziału (- x k – pierwiastki wielomianu Hermitea stopnia n+1 Wielomiany Hermitea

24 Błąd kwadratury Gaussa-Laguerrea Błąd kwadratury Gaussa-Hermitea


Pobierz ppt "Różniczkowanie numeryczne symetryczny iloraz różnicowy niesymetryczny iloraz różnicowy."

Podobne prezentacje


Reklamy Google