Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

6. Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych n=2 określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej x przyrost zmiennej niezależnej y przyrost.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "6. Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych n=2 określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej x przyrost zmiennej niezależnej y przyrost."— Zapis prezentacji:

1

2 6. Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych n=2 określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej x przyrost zmiennej niezależnej y przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x przy y=const. przyrost cząstkowy funkcji dwóch zmiennych y i x względem zmiennej y przy x=const. przyrost funkcji dwóch zmiennych y i x (przyrost całkowity) Def. 64 (por. def. 40) Pochodna cząstkowa funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje analogicznie Pochodną liczymy tak samo jak dla funkcji jednej zmiennej zakładając, że druga zmienna jest stała (jest parametrem) Przykład: Obliczyć pochodne cząstkowe funkcji z=x 2 y 3 Podobnie jak dla funkcji jednej zmiennej, można także obliczać wartość pochodnej w punkcie np. powyższe pochodne cząstkowe w punkcie P o =(2,4)

3 określona w otoczeniu Q punktu n>2 przyrost zmiennej niezależnej x k przyrost cząstkowy funkcji n zmiennych względem zmiennej x k przyrost funkcji n zmiennych (przyrost całkowity) Def. 64a Pochodna cząstkowa funkcji n zmiennych względem zmiennej x k jeżeli granica właściwa (skończona) istnieje Różne oznaczenia pochodnej cząstkowej Uwaga: inaczej niż dla funkcji jednej zmiennej, funkcja f może mieć w punkcie P o wszystkie pochodne cząstkowe i mimo to być nieciągła w tym punkcie Różniczkowanie jest bardzo łatwe – można stosować wszystkie metody dla funkcji jednej zmiennej

4 Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych

5 7. Różniczka funkcji n zmiennych n=2 określona i różniczkowalna w punkcie Niech Δx - przyrost zmiennej niezależnej x, oznaczany także dx i nazywany różniczką zmiennej niezależnej x Δy - przyrost zmiennej niezależnej y, oznaczany także dy i nazywany różniczką zmiennej niezależnej y Def. 65 (por. def. 42) Różniczką cząstkową funkcji dwóch zmiennych x i y względem zmiennej x nazywamy iloczyn pochodnej cząstkowej i przyrostu (różniczki) zmiennej niezależnej analogicznie Def. 66 Różniczką zupełną funkcji dwóch zmiennych x i y nazywamy sumę różniczek cząstkowych i oznaczamy df Dla funkcji n zmiennych (n>2) Def. 66a Różniczką zupełną funkcji n zmiennych x 1, x s,..., x n, nazywamy sumę różniczek cząstkowych i oznaczamy df

6 Przykład: Obliczyć w przybliżeniu wartość funkcji dla x=2,1 i y=8,05 Przyjmijmy x o =2, y o =8, Δx =0,1 Δy =0,05 Zastosowanie różniczki zupełnej – przybliżone obliczanie przyrostu funkcji (podobnie jak dla różniczki funkcji jednej zmiennej)

7 8. Pochodne cząstkowe wyższych rzędów n=2 – z=f(x, y) Przypomnienie def. 44: pochodna wyższego rzędu to pochodna pochodnej rzędu o 1 niższego Pochodna rzędu drugiego to pochodna pochodnej (rzędu pierwszego) Pochodna rzędu k+1 to pochodna pochodnej k-tego rzędu. Def. 67 Pochodna cząstkowa rzędu drugiego to pochodna pochodnej cząstkowej Pochodna cząstkowa rzędu k+1 to pochodna pochodnej cząstkowej k-tego rzędu Są cztery pochodne rzędu drugiego funkcji dwóch zmiennych: Tw. 54 (Schwarza) Jeżeli pochodne cząstkowe mieszane istnieją i są ciągłe w punkcie P=(x,y) to są sobie równe czyli

8 Jest osiem pochodnych rzędu trzeciego funkcji dwóch zmiennych: Jeżeli spełnione są założenia tw. Schwarza, to i są tylko cztery różne pochodne rzędu trzeciego funkcji dwóch zmiennych Dla funkcji n zmiennych (n>2) Jest n 2 pochodnych rzędu drugiego funkcji n zmiennych:

9 9. Różniczki zupełne wyższych rzędów Różniczki zupełne wyższych rzędów funkcji n zmiennych definiowane są tak samo jak różniczki funkcji jednej zmiennej (def. 45) tzn. d 2 f=d(df) d (k+1) f=d(d (k) f) Korzystając ze wzorów na różniczkę zupełną (def. 66 i 66a) symbolicznie można zapisać, że: dla funkcji 2 zmiennych dla funkcji n zmiennych

10 10. Ekstremum (lokalne) funkcji n zmiennych

11 Def. 68 Funkcja n zmiennych f(P) określona w pewnym otoczeniu punktu P o ma w tym punkcie maksimum/minimum lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo S punktu P o, że dla każdego P z tego sąsiedztwa f(P) f(P o ) (minimum) albo f(P) f(P o ) (maksimum) Maksima i minima nazywamy ekstremami Jeżeli zamiast nierówności słabych spełnione są nierówności mocne, czyli f(P) f(P o ) to ekstremum nazywamy właściwym Tw. 55 – warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji n zmiennych – por. tw. 42 Jeżeli funkcja f(x 1, x 2,..., x n ) ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P o =(x 1 (o), x 2 (o),..., x n (o) ) i ma w tym punkcie ekstremum to

12 Analogicznie dla maksimum Tw. 56a – dla funkcji dwóch zmiennych Jeżeli funkcja f(x, y) jest ciągła wraz z drugą pochodną w pewnym otoczeniu Q punktu P o =(x o, y n ) i w punkcie P o Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych – por. tw. 44 to funkcja f(x, y) ma w punkcie P o extremum właściwe. Jeżeli dodatkowo w punkcie P o to jest to minimum, a jeżeli w punkcie P o to jest to maximum. Tw. 56a – dla funkcji n zmiennych (n>2) Jeżeli funkcja f(x 1, x 2,..., x n ) jest ciągła wraz z drugą pochodną w pewnym otoczeniu Q punktu P o =(x 1 (o), x 2 (o),..., x n (o) ) i w punkcie P o to funkcja f(x 1, x 2,..., x n ) ma w punkcie P o minimum właściwe.

13 Przykład: Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji z= x 3 +3xy 2 -15x-12y W tych punktach mogą (lecz nie muszą!!!) być ekstrema lokalne funkcji. Żeby było ekstremum, musi być Obliczmy zatem pochodne cząstkowe drugiego rzędu


Pobierz ppt "6. Pochodne cząstkowe funkcji n zmiennych n=2 określona w otoczeniu Q punktu przyrost zmiennej niezależnej x przyrost zmiennej niezależnej y przyrost."

Podobne prezentacje


Reklamy Google