Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Metoda Gaussa Jak dobrać punkty podziału [a,b] przedziału na N części aby uzyskać dokładność 2(N+1)? Rozwiązanie problemu można znaleźć za pomocą wielomianów.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Metoda Gaussa Jak dobrać punkty podziału [a,b] przedziału na N części aby uzyskać dokładność 2(N+1)? Rozwiązanie problemu można znaleźć za pomocą wielomianów."— Zapis prezentacji:

1

2 Metoda Gaussa Jak dobrać punkty podziału [a,b] przedziału na N części aby uzyskać dokładność 2(N+1)? Rozwiązanie problemu można znaleźć za pomocą wielomianów ortogonalnych. Ciąg wielomianów: jest ortogonalny w przedziale [a,b] z wagą p(x) jeżeli zachodzi:

3 Waga p(x)=1, przedział [-1,1]. Wielomiany Legendrea:

4 Interpolując funkcję podcałkową f(x) za pomocą wielomianu Legendrea otrzymujemy: gdzie a x k jest k-tym pierwiastkiem równania: i błąd metody jest:

5 Pierwiastki i współczynniki kwadratury Gaussa z wagą p(x)=1: Nk /9 8/9 5/ węzły x k współczynniki A k

6 W przypadku całkowania w przedziale [a,b] dokonujemy jego transformacji na przedział [-1,1]: Przykład n12345 InIn błąd %

7 Ta sama całka, ale liczona w ten sposób, że przedział całkowania jest podzielony na 5 równych części i w każdym przedziale zastosowano aproksymację N=1 I 1 = z błędem 0.97% Całki typu: Transformacja przedziału całkowania: Pozwala zapisać całkę w postaci: gdzie

8 Wystarczy więc rozważyć całkę: Mamy obliczyć całkę funkcji f(t) z wagą Wielomiany ortogonalne na przedziale [-1,1] z wagą w(t) są nazywane wielomianami Jacobiego i mają postać: i całkę I można obliczyć z zależności:

9 gdzie a t k jest pierwiastkiem równania: Przypadki szczególne: i dla n=0,1,2,... dla n=1,2,3,... dla n=0,-1,-2,...

10 Typowe funkcje wagowe 1. = =-0.5 czyli a całka ma postać: W tym przypadku wielomiany Jacobiego są powiązane z wielomianami Czebyszewa T n (t) związkiem: gdzie C n – stała, a

11 Łatwo więc znaleźć pierwiastki t k z równania: i mamy: dla k=1,2,3,...,N Korzystając z odpowiednich tożsamości dla funkcji Czebyszewa i Jacobiego można wykazać, że współczynniki wagi są: a ponieważ nie są zależne od k, więc dla danego N powinny być stałe i równe A. Stałą A łatwo wyznaczymy jeżeli przyjmiemy, że f(t)=1 i mamy: i stąd

12 mamy ostatecznie: gdzie R N (f) jest błędem aproksymacji wynoszącym: i –1< <1 Przykład gdzie |k|<1 Podstawiamy: cos =t i czyli:

13 w tym przypadku: funkcja f(t) ma postać: i na mocy zależności: mamy:

14

15

16 2. = =0.5 Funkcja wagowa: a całka ma postać: W tym przypadku funkcje Jacobiego można wyrazić przez funkcje Czebyszewa II – go rodzaju U n (t): gdzie i wzór dla kwadratur ma postać:

17 gdzie błąd określa wzór: -1< <1 Przykład: transformacja przedziału [0,1] do przedziału [-1,1]: i całka przyjmuje postać: Z oceny błędu widać, że wystarczy wybrać N=3, a wynik będzie dokładny i mamy: I=

18 Jeszcze jeden przypadek szczególny 3. =0.5 =-0.5 Funkcja wagowa jest: i liczymy całkę: Również w tym przypadku można wyrazić wielomiany Jacobiego przez wielomiany Czebyszewa:

19 i kwadraturę można zapisać: gdzie gdzie -1< <1 Całki na przedziale nieograniczonym Można wybrać specjalne reguły całkowania za pomocą wielomianów ortogonalnych Laguerrea lub Hermitea w przedziale [0, ] lub [-,+ ] odpowiednio.

20 Całki postaci: gdzie >-1 wagą jest Wielomianami ortogonalnymi na półosi [0, ) z wagą w(x) są wielomiany Laguerrea: Dla =0 mamy: a x k – zera wielomianu Laguerrea i współczynniki A k podaje tablica:

21 N=1x 1 = A 1 = N=2x 1 = x 2 = A 1 = A 2 = N=3x 1 = x 2 = x 3 = A 1 = A 2 = A 3 = N=4x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = ·10 -3

22 N=5x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = ·10 -4 N=6x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = A 1 = A 2 = A 3 = A 4 = A 5 = ·10 -3 A 6 = ·10 -6

23 Przykład: Dana jest całka: Dokładna wartość całki jest: Obliczenia metodą trapezów przy obcięciu górnej granicy: Błąd obliczeń liczymy z zależności: Wyniki przedstawia tabela:

24 x=1-61.6% x=5-3.28% x= % x= · % x= ·10 -9 % dlaczego? Obliczenia korzystając z wielomianu Laguerrea N=1-6.26% N=2-0.7% N=30.068% N=40.048% N=57.82·10 -3 % N=6-2.52·10 -3 %

25 Można też zastosować następujące postępowanie dla całki: podstawiamy: i mamy: Warunkiem istnienia całki I 1 jest: a więc stosując np. metodę trapezów trzeba w punkcie t=0 uwzględnić wartość graniczną.

26 Całkę najwygodniej rozbić na dwie: które liczymy jak poprzednio. Funkcja podcałkowa posiada osobliwość wewnątrz przedziału całkowania Np.: ogólnie: i w punkcie x 0 [a,b] występuje osobliwość.

27 1. Jeżeli istnieje to wydzielamy osobliwość: Przykład: wewnątrz przedziału całkowania mianownik ma miejsce zerowe x 0 =1, a granica funkcji w tym punkcie wynosi: czyli

28 w obliczeniach numerycznych mamy funkcję podcałkową: z której całkę w przedziale [-2,2] liczymy dowolną metodą. 2. Funkcja f(x) posiada słabą osobliwość w punkcie x 0 [a,b]: gdzie 0< <1 oraz g(x 0 ) 0.

29 i mamy: Ostatnią całkę można obliczyć analitycznie: Natomiast funkcja podcałkowa: ma w punkcie x 0 granicę:jeżeli

30 Równanie różniczkowe rzędu n-go przykład: Układ równań różniczkowych I-go rzędu w postaci normalnej: Numeryczne metody całkowania równań różniczkowych

31 Sprowadzenie równania rzędu n do układu równań na przykładzie: oznaczamy: i ostatecznie: Równanie różniczkowe rzędu n może praktycznie zawsze być zapisane w formie układu n równań I-go rzędu mówimy, że mamy układ równań w postaci normalnej.

32 Zagadnienie początkowe dla równania różniczkowego: Przykład: całka ogólna: Rozwiązanie: Całka szczególna metodą uzmienniania stałej: czyli

33 Rozwiązanie równania: ma postać: Stałą C wyznaczamy z warunków początkowych Dla równania różniczkowego I-go rzędu potrzebujemy jeden warunek początkowy: i dla wyznaczenia stałej C mamy równanie:

34 i rozwiązanie ma postać: Przykład równania różniczkowego II rzędu: R0R0 E C R L t=0 i(t) ucuc Warunki początkowe:

35 Biorąc pod uwagę, że zapisujemy warunki w postaci: Warunków początkowych należy postawić tyle i nie więcej ile wynosi rząd równania różniczkowego

36 Rozwiązanie: Niech równanie charakterystyczne: ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste wtedy całka ogólna ma postać:

37 Stałe A 1 i A 2 wyznaczamy z warunków początkowych: czyli Rozwiązując powyższy układ równań wyznaczamy stałe a następnie znajdujemy napięcie na kondensatorze.

38 Podsumowanie: 1.Mamy kłopoty z rozwiązywaniem równań o stałych współczynnikach, jeżeli rząd wyższy od dwóch równanie charakterystyczne jest wielomianem rzędu n i nie znamy wzorów na pierwiastki. 2.Równań o zmiennych w czasie współczynnikach i nieliniowych nie potrafimy rozwiązać w ogólnym przypadku często już dla rzędu I-go Konieczność użycia metod numerycznych Ze względu na łatwość zbudowania ogólnego algorytmu obliczenia prowadzimy dla układu równań różniczkowych I-go rzędu w postaci normalnej

39 który po wprowadzeniu formalnego zapisu w postaci wektorów: i układ zapisujemy:

40 Wniosek – Jeżeli opanujemy metodę numerycznego rozwiązywania jednego równania różniczkowego pierwszego rzędu, czyli to wyniki łatwo uogólnimy na układ n równań I-go rzędu w postaci normalnej Rozpoczynamy od następującego zadania: z warunkiem początkowym: Należy znaleźć rozwiązanie dla t [0,T]

41 Metoda aproksymacji wielomianowej metody wielokrokowe Przyjmujemy algorytm w postaci t k =kh Algorytm nazywamy jawnym, jeżeli sumowanie rozpoczyna się od 0 w przeciwnym przypadku mówimy, że algorytm jest niejawny

42 Wyznaczenie współczynników a i, b i. Metoda jest dokładna jeżeli rozwiązaniem równania: jest wielomian stopnia zerowego, czyli równanie ma postać: którego rozwiązaniem jest: podstawiając do mamy ponieważ f(x,t)=0. Dzieląc przez c 0

43 Wyznaczenie współczynników a i, b i. Metoda jest dokładna dla wielomianu stopnia zerowego jeżeli rozwiązaniem równania: jest wielomian stopnia zerowego, czyli równanie ma postać: którego rozwiązaniem jest: podstawiając do mamy ponieważ f(x,t)=0. Dzieląc przez c 0

44 otrzymujemy warunek: Jeżeli współczynniki a i dobierzemy tak, aby spełnić powyższy warunek, to algorytm jest dokładny dla wielomianów stopnia zerowego. Żądamy, jeżeli rozwiązaniem równania jest wielomian pierwszego stopnia to algorytm jest dokładny.

45 Równanie spełniane przez wielomian ma postać:czyli a więc algorytm: uwzględniając, że t i =ih przyjmuje postać: Biorąc pod uwagę, że dla wielomianu stopnia zerowego mamy warunek:

46 Z równania: otrzymujemy: Powtórzmy jeszcze jako ćwiczenie rozumowanie dla wielomianu II-go stopnia: który spełnia równanie czyli

47 Przyjmując dla skrócenia zapisu t n =0 algorytm: zapisujemy: i uwzględniając: a biorąc pod uwagę dwa poprzednie warunki:

48 otrzymujemy: Dla wielomianu stopnia k: równie różniczkowe ma postać

49 Przyjmując podobnie jak dla drugiego stopnia i podstawiając do: otrzymujemy:

50 Porównując współczynniki przy tych samych potęgach h i poprzednie k-1 równań znajdujemy: Algorytm wielokrokowy: jest dokładny dla wielomianu stopnia k, jeżeli współczynniki a i, b i spełniają następujący układ k równań:

51 Każdy algorytm spełniający warunki dla k>1 nazywamy zwartym. Jeżeli metoda jest dokładna dla wielomianu stopnia k, to mówimy o metodzie rzędu k-go.

52 Liczba niewiadomych do wyznaczenia w algorytmie: Współczynników a i wynosi: p+1 Współczynników b i wynosi: p+2 Całkowita liczba niewiadomych: 2p+3 Układ równań: k=0,1,...,n można spełnić pod warunkiem, że liczba równań n+1 2p+3

53 W metodzie Adamsa - Bashfortha przyjmujemy p=n-1 Liczba niewiadomych wynosi: 2(n-1)+3=2n+1, więc przy spełnieniu n+1 równań możemy dowolnie wybrać n współczynników Przyjmujemy n-1 współczynników a 1 =a 2 =....=a n-1 =0 Pierwsze z równań przy spełnieniu powyższych warunków przyjmuje postać: Jako n-ty dowolnie wybrany współczynnik przyjmujemy b -1 =0 A więc schemat Adamsa - Bashfortha jest schematem jawnym

54 Dla n=1 mamy p=0 i równanie wyznaczające b 0 jest Przy n=2 będzie p=1 i mamy dwie niewiadome b 0 i b 1 spełniające układ równań: czyli

55 Ogólnie jeżeli mamy n niewiadomych współczynników b i, to wyznaczamy je z równań Rozwiązanie powyższego układu równań przedstawia tabela:

56 Współczynniki b k metoda Adamsa - Bashfortha n b0b0 b1b1 b2b2 b3b3 b4b4 b5b /2-1/2 3 23/12-16/125/ /24-59/2437/24-9/ / / / /720251/ / / / / / /1440

57 Algorytm Adamsa - Bashfortha rzędu pierwszego jest nazywany algorytmem Eulera i ma postać: Przykład: z warunkiem początkowym x(0)=0 Zapisujemy równanie w postaci normalnej: czyli w tym przypadku funkcja f(x,t) jest Wybór kroku całkowania h:

58 Równanie jednorodne ma postać: Całka ogólna tego równania ma postać: Przebieg rozwiązania jest scharakteryzowany przez wielkość tłumienia, które w tym przypadku wynosi a=3 i charakterystyczny czas wynosi 1/a=1/3 s. Krok czasowy h należy wybrać co najwyżej h<1/(10a), co w tym przypadku pozwala wybrać h=0.03s.

59 Należy również uważnie rozważyć funkcję wymuszającą, która w rozpatrywanym przypadku ma postać: Okres T zmian analizowanej funkcji wynosi: Rysunek funkcji sinus jest gładki, jeżeli podzielimy okres na co najmniej 20 kroków, czyli krok h powinien wynosić h

60 Z obu ograniczeń h=0.03s i h=0.01s wybieramy mniejszy czyli w tym przypadku przyjmujemy h=0.01s. Algorytm przy przyjętym kroku h ma postać: x 0 =0 i mamy: następny: itd..

61 Równanie drugiego rzędu na przykładzie wahadła matematycznego o długości l: Wprowadzamy nowe zmienne celem zastąpienia układem równań I-go rzędu:

62 Przyjmujemy wahadło o długości l=1m i g=10m/s 2 Warunki początkowe: Jeżeli zlinearyzujemy równanie: to przyjmie on postać: którego całka ogólna ma postać:

63 Okres T drgań zlinearyzowanego wahadła wynosi: czyli krok należy przyjąć ponieważ mamy nieliniowe równanie, więc dla bezpieczeństwa przyjmujemy h=0.05s. Jawny schemat Eulera dla układu równań

64 przyjmuje postać: z warunkiem startowym:


Pobierz ppt "Metoda Gaussa Jak dobrać punkty podziału [a,b] przedziału na N części aby uzyskać dokładność 2(N+1)? Rozwiązanie problemu można znaleźć za pomocą wielomianów."

Podobne prezentacje


Reklamy Google