Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IV Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IV Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof."— Zapis prezentacji:

1 Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IV Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof Broczkowski

2 Spis treści: Założenia Asymptoty Przykłady obliczania asymptoty funkcji Monotoniczność funkcji Ekstrema funkcji Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia Badanie funkcji

3 Założenia wyczerpującej informacji o funkcji. W celu badania przeprowadza się Badanie przebiegu zmienności funkcji pozwala na uzyskanie : - analizę funkcji - analizę pierwszej pochodnej - analizę drugiej pochodnej Na podstawie uzyskanych wyników sporządza się tabelę zmienności funkcji i wykres funkcji.,,.

4 Analiza funkcji 1). Znalezienie dziedziny 2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności 3). Obliczenie asymptot 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami 5). Określenie parzystości, okresowości, ciągłości ; ; ; ;.

5 Analiza pierwszej pochodnej 1). Znalezienie ekstremów 2). Określenie przedziałów monotoniczności ;.

6 Analiza drugiej pochodnej 1). Znalezienie punktów przegięcia 2). Określenie przedziałów wypukłości i wklęsłości ;.

7 Asymptoty Pionowe Poziome Pochyłe (ukośne),,. twierdzenie

8 Asymptoty pionowe Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera pewne sąsiedztwo prawostronne lub lewostronne punktu. Definicja: Prostą o równaniu nazywa się asymptotą pionową funkcjiwtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica niewłaściwa asymptota pionowa lewostronna lub asymptota pionowa prawostronna,. Jeżeli prosta jest jednocześnie asymptotą pionową lewo i prawostronną - - mówi się, że jest asymptotą pionową obustronną.

9 Asymptoty poziome Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub Definicja: Prostą o równaniu lub nazywa się asymptotą poziomą funkcjiwtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica niewłaściwa asymptota pozioma lewostronna lub asymptota pozioma prawostronna,. Jeżeli to mówi się, że - - jest asymptotą poziomą obustronną..

10 Asymptoty pochyłe (ukośne) Zakłada się, że dziedzina funkcji zawiera przedział lub Definicja: Prostą o równaniu dla nazywa się asymptotą pochyłą funkcjiwtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica niewłaściwa asymptota pozioma lewostronna lub asymptota pozioma prawostronna, Jeżeli asymptota pochyła jest jednocześnie asymptotą lewo i prawostronną To prostą nazywa się asymptotą pochyłą obustronną.

11 Asymptoty pochyłe (ukośne) - twierdzenie Jeżeli funkcja o równaniu ma asymptotę pochyłą o równaniu,to oraz.

12 Przykłady obliczania asymptot funkcji a)b) c)d),,,.

13 Obliczanie asymptot funkcji -a Ponieważ asymptoty pionowej brak. - lewostronnej asymptoty poziomej brak. - prawostronnej asymptoty poziomej brak.

14 Obliczanie asymptot funkcji - a asymptota ukośna Ponieważ nie ma asymptoty poziomej sprawdza się istnienie asymptoty. - asymptoty ukośnej brak. Wykres funkcji nie ma asymptot.

15 Obliczanie asymptot funkcji -b - asymptoty pionowej prawostronnej brak.

16 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota pionowa - prosta jest obustronną asymptotą pionową.

17 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota pozioma - prawostronnej asymptoty poziomej brak. H

18 Obliczanie asymptot funkcji -b asymptota ukośna - prawostronnej asymptoty ukośnej brak.

19 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota pionowa - lewostronna asymptota pionowa - prawostronna asymptota pionowa - prosta jest obustronną asymptotą pionową.

20 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota pozioma - lewostronnej asymptoty poziomej brak Łatwo sprawdzić, że prawostronnej asymptoty poziomej brak. HH

21 Obliczanie asymptot funkcji -c asymptota ukośna - lewostronna asymptota ukośna. Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą ukośną.

22 Obliczanie asymptot funkcji -d Asymptoty pionowej brak Łatwo sprawdzić, że jest obustronną asymptotą poziomą.. - lewostronna asymptota pozioma.

23 Monotoniczność funkcji Na to, by funkcja była stała w przedziale potrzeba i wystarcza, aby dla każdego Jeżeli w każdym punkcie przedziału, to funkcja jest na tym przedzialerosnąca. Jeżeli w każdym punkcie przedziału, to funkcja jest na tym przedzialemalejąca..

24 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji a) b) c) d) ; ; ;.

25 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - a Funkcja jest malejąca w przedziale. Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz.

26 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - b Funkcja jest rosnąca w całym przedziale określoności.

27 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - c Funkcja jest rosnąca w przedziale. Funkcja jest malejąca w przedziale.

28 Przykłady obliczania monotoniczności funkcji - d Funkcja jest rosnąca w przedziałach oraz.

29 Ekstrema funkcji WKE - Warunek Konieczny Ekstremum WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum,, Maksima i minima funkcji nazywa się ekstremami. WWE - Warunek Wystarczający Ekstremum - druga pochodna.

30 WKE-Warunek Konieczny Ekstremum Warunek jest warunkiem koniecznym na to, aby funkcja różniczkowalna w punkcie ekstremum.miała w tym punkcie Funkcja może mieć ekstremum jedynie w tych punktach, w których bądź pochodna nie istnieje,.bądź jest równa

31 WWE-Warunek Wystarczający Ekstremum zmienia znak z ujemnego na dodatni gdy, rosnąc przechodzi przez, to w punkcie funkcja ma minimum. Jeżeli, a ponadto: zmienia znak z dodatniego na ujemny, gdy, rosnąc przechodzi przez, to w punkcie funkcja ma maksimum.

32 WWE-Warunek Wystarczający Ekstremum za pomocą drugiej pochodnej drugą pochodną, która jest ciągła w punkcie i Jeżeli funkcja, ma w pewnym otoczeniu punktu i,to funkcja w punkcie ma: minimum maksimum,gdy

33 Przykłady obliczania ekstremum funkcji a) b) c) d) ; ; ;.

34 Przykłady obliczania ekstremum funkcji - a WKE: Nie ma spełniającego WKE.Funkcja nie ma ekstremum.

35 Przykłady obliczania ekstremum funkcji - b WKE: - należy do dziedziny funkcji ale nie należy do dziedziny pochodnej. - nie ma takiego x w R., WWE:Zarówno dla x > 0 jak i x < 0 nie zmienia się znak pochodnej. Funkcja w punkcie x = 0 nie ma ekstremum.

36 Wypukłość i wklęsłość wykresu, punkty przegięcia Wypukłość Wklęsłość Punkty przegięcia,,.

37 Wypukłość wykresu funkcji Krzywa jest wypukła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona poniżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale, to krzywa jest w tym przedziale wypukła.

38 Wklęsłość wykresu funkcji Krzywa jest wklęsła w pewnym przedziale, jeśli we wszystkich punktach tego przedziału leży ona powyżej swych stycznych. Jeśli w pewnym przedziale, to krzywa jest w tym przedziale wklęsła.

39 Punkty przegięcia WKPP - Warunek Konieczny Punktu Przegięcia albonie istnieje w dziedzinie funkcji. : WWPP - Warunek Wystarczający Punktu Przegięcia Zmiana krzywej z wypukłej na wklęsłą lub odwrotnie wokół punktu z WKPP. :

40 Przykład obliczania punktu przegięcia

41 Przykład obliczania PP -cd WKPP: WWPP: i nie wpływa na znak pochodnej Funkcja ma w punktach x = -1 oraz x = 1 punkty przegięcia.

42 Badanie funkcji 1). Znalezienie dziedziny 2). Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności 3). Obliczenie asymptot 4). Znalezienie punktów przecięcia z osiami 5). Określenie parzystości, okresowości ). Znalezienie ekstremów. 7). Znalezienie punktów przegięcia. 8). Tabela. 9). Wykres funkcji.

43 Badanie funkcji - przykład Znalezienie dziedziny : i

44 Obliczenie granic na końcach przedziałów określoności H

45 Obliczenie asymptot H x = 0 - asymptota pionowa prawostronna H y = x - asymptota ukośna prawostronna.

46 Znalezienie punktów przecięcia z osiami wartość przybliżona

47 Określenie parzystości, okresowości Funkcja jest nieokresowa. Funkcja nie jest ani parzysta ani nieparzysta, gdyż D: x > 0.

48 Znalezienie ekstremów funkcja stale rosnąca. Nie ma ekstremum. WKE:

49 Znalezienie punktów przegięcia WKPP:

50 Tabela

51 Wykres funkcji PP


Pobierz ppt "Analiza matematyczna - Badanie przebiegu zmienności funkcji wykład IV Autor wykładu : Prof. nadzw. dr Bożena PALUCHIEWICZ Autor slajdów: Inż. Krzysztof."

Podobne prezentacje


Reklamy Google