Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego

2 Ciało sztywne porusza się ruchem postępowym, wywołanym działaniem sił zewnętrznych:,,...,. Ruch postępowy ciała sztywnego Ruch postępowy - wszystkie punkty ciała przemieszczają się z prędkościami o jednakowych: kierunkach, zwrotach i wartościach.

3 Dynamiczne równanie ruchu postępowego ciała sztywnego Na podstawie twierdzenia o ruchu środka masy, dynamiczne równanie ruchu można zapisać w postaci: gdzie: m – masa ciała sztywnego – przyśpieszenie środka masy (1) W prostokątnym układzie współrzędnych (2)

4 Pochodna względem czasu krętu ciała względem jego środka masy równa jest sumie geometrycznej momentów wszystkich sił zewnętrznych względem tego środka. Twierdzenie o pochodnej krętu (3) Kręt ciała sztywnego względem środka masy jest równy zeru. Z równania (3) wynika, że gdy ciało porusza się ruchem postępowym to suma geometryczna momentów sił zewnętrznych względem środka masy ciała musi być równa zeru. (4) Wniosek: siły zewnętrzne muszą tworzyć układ, który ma wypadkową o linii działania przechodzącej przez środek masy C.

5 Przyjmijmy iż przedstawiony na rysunku przekrój ciała otrzymano w wyniku przecięcia płaszczyzny równoległej do płaszczyzny kierującej i przechodzącej przez środek masy C. Ruch płaski ciała sztywnego

6 Położenie rozpatrywanego ciała sztywnego możemy określić za pomocą współrzędnych x c, y c środka masy C w układzie nieruchomym Oxyz i kąta obrotu α tego ciała względem układu ruchomego C x’y’z’, którego początek C jest umieszczony w środku masy. Ruch płaski ciała sztywnego Ruch postępowy określa ruch punktu C na płaszczyźnie xy, a ruch obrotowy odbywa się wokół osi centralnej Cz’, przechodzącej przez środek masy. Ciało sztywne porusza się ruchem płaskim, jeżeli obraca się wokół osi nie zmieniającej kierunku i porusza się ruchem postępowym po płaszczyźnie prostopadłej do osi obrotu. Ruch swobodnego ciała sztywnego jest płaski, jeżeli chwilowe osie obrotu nie zmieniają kierunku (pozostają stale równoległe do głównej centralnej osi bezwładności tego ciała).

7 Aby otrzymać dynamiczne równ. r. płaskiego c. sztywnego zastosujemy:  dynamiczne równania ruchu postępowego (2)  zasadę krętu w ruchu obrotowym Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego (5) Równanie ruchu postępowego w kierunku x Równanie ruchu postępowego w kierunku y Zasada zachowania krętu ruchu obrotowego Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego mają postać:

8 Dynamiczne równania ruchu płaskiego ciała sztywnego − składowe przyspieszenia środka masy C − moment bezwładności rozpatrywanego ciała względem osi z − przyspieszenie kątowe ciała względem osi obrotu (z) Otrzymane trzy dynamiczne równania ruchu (5) odpowiadają liczbie stopni swobody ciała sztywnego poruszającego się ruchem płaskim.

9 Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Przykład 1. Krążkowi o masie m i promieniu r nadano początkową prędkość kątową ω o, a następnie postawiono go na płaszczyźnie poziomej. Obliczyć drogę s, po przebyciu której krążek zatrzyma się, czas t oraz funkcje: υ = f 1 (t), ω = f 2 (t), mając także dane: μ − współczynnik tarcia ślizgowego, f – współczynnik tarcia tocznego.

10 Równanie ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym na kierunkach x i y Równanie ruchu obrotowego wokół środka masy (5) W przypadku tarcia z poślizgiem Przypadek a) – toczenie z poślizgiem

11 Po przekształceniu otrzymujemy: Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Równanie drogi środka masy: Prędkość liniowa środka masy C: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C 1 = C 2 = 0

12 Stąd Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka: Po wykorzystaniu warunków początkowych stałe całkowania wynoszą: C 3 = ω o, C 4 = 0

13 Stąd W chwili zatrzymania się krążka iiiiiii, stąd czas t 1 wynosi: Przypadek a) – toczenie z poślizgiem Na tej podstawie wyznaczymy drogę s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t 1 :

14 Przypadek b) – toczenie bez poślizgu

15 Równania ruchu środka masy krążka w ruchu postępowym: Równanie ruchu obrotowego krążka wokół środka masy Zależność pomiędzy przyspieszeniem liniowym i kątowym zatem Przypadek b) – toczenie bez poślizgu

16 Po podstawieniu: Przypadek b) – toczenie bez poślizgu W rozpatrywanym przypadku toczenia krążka bez poślizgu wartość siły tarcia tocznego T 2 musi być mniejsza od wartości siły tarcia ślizgowego T 1. gdzie: stąd Zatem

17 Po dwukrotnym całkowaniu względem czasu otrzymamy: Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii wyznaczamy stałe całkowania C 1 = ω o r ; C 2 = 0 Stąd: Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Prędkość kątowa krążka: Równanie kąta obrotu krążka ma postać:

18 Po wykorzystaniu warunków początkowych iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii stałe całkowania C 3 = ω o, C 4 = 0. Stąd: W chwili zatrzymania się krążka prędkość kątowa iiiiiii, stąd czas t 2, po którym krążek się zatrzyma, wynosi: Przypadek b) – toczenie bez poślizgu Droga s jaką przebędzie krążek do chwili zatrzymania się po czasie t 2 wynosi:

19 Jednorodny pręt o długości l i masie m zawieszono na pionowych nitkach w punktach A i B. Znaleźć przebieg siły w funkcji czasu w nitce zaczepionej w punkcie A po zerwaniu nitki w punkcie B. a) nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna b) nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k Przykład 2 A B

20 Przypadek I – nitka doskonale wiotka i doskonale nieodkształcalna Dynamiczne równania ruchu pręta Dynamiczne równania ruchu płaskiego pręta mają postać: Po rozwiązaniu powyższych równań otrzymamy stałą wartość siły w nitce

21 Rysunek pręta Przypadek II – nitka doskonale wiotka i doskonale sprężysta o współczynniku sztywności k

22 Dynamiczne równania ruchu pręta Po przekształceniu: Stąd: Dynamiczne równania ruchu mają postać: Rozwiązanie otrzymanego równania różniczkowego jest wyrażone funkcją: gdzie:

23 Stałe całkowanie wyznaczamy z warunków początkowych: Stąd Po podstawieniu: Równania ruchu pręta Równanie ruchu pręta możemy ostatecznie zapisać: Wyrażenie na siłę w nitce ma postać:

24 Suma prac sił wewnętrznych ciała sztywnego na dowolnym przesunięciu jest równa zeru, gdyż odległości między punktami tego ciała nie ulegają zmianie. Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Stąd zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego przyjmuje postać: (6) Przyrost energii kinetycznej ciała sztywnego na pewnym przesunięciu jest równy sumie prac sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) na tym przesunięciu.

25 Przykład 3: Walec o masie m i promieniu r jest owinięty linką. Obliczyć prędkość v i siłę S po opadnięciu o wysokość h.  ma v S -S h x V=0 r

26 Zatem Na podstawie zasady energii kinetycznej i pracy Siłę w linie wyznaczymy z dynamicznych równań ruchu: Po rozwiązaniu:

27 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Obliczyć:  1, a, I zred Przykład. Ciężar P wciągany jest do góry za pomocą przekładni zębatej. Stały moment zewnętrzny M przyłożony jest do koła o promieniu r 1. Przy danych M, r 1, m 1, r 2, m 2, r 3, m 3, P obliczyć przyspieszenie kątowe koła o promieniu r 1, przyspieszenie liniowe ciężaru P oraz moment bezwładności układu zredukowany do osi O 1. Dane: M, r 1, r 2, r 3, m 1, m 2, m 3, P

28 Rozwiązanie: Na podstawie zasady równoważności energii kinetycznej i pracy możemy napisać W chwili początkowej prędkość liniowa ciężaru P i prędkości kątowe kół są równe zeru. Zatem początkowa energia kinetyczna jest równa zeru (E 1 =0). Prędkość końcowa jest równa υ, a prędkości kątowe kół ω 1, ω 2. Energia kinetyczna końcowa: Pracę wykonują jedynie siła P i moment M Zależność między prędkością liniową υ, a prędkościami kątowymi ω 1, ω 2 oraz drogą s i kątem obrotu φ 1 : Po uwzględnieniu tych zależności we wzorach na końcową energię kinetyczną E 2, pracę W i podstawieniu do równania przedstawiającego zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy otrzymamy:

29 Po zróżniczkowaniu obu stron tego równania względem czasu otrzymamy: Stąd Przyspieszenie liniowe ciężaru P Moment bezwładności układu zredukowany do osi O 1 wynosi

30 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Przykład. Mechanizm obiegowy porusza się pod działaniem sił ciężkości. Dane są masy krążków m 1, m 2, oraz promienie krążków r 1, r 2. W chwili początkowej mechanizm pozostawał w spoczynku, a oś korby pokrywała się z kierunkiem pionowym. Obliczyć prędkość kątową, przyspieszenie kątowe koła poruszającego się ruchem płaskim w funkcji kąta φ.

31 Rozwiązanie: Energia kinetyczna układu w położeniu początkowym jest równa zeru E 1 =0 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Energia kinetyczna mechanizmu w położeniu końcowym wynosi: Praca sił ciężkości na odpowiednich przesunięciach Zależności między prędkościami kątowymi i liniowymi są następujące: Po uwzględnieniu tych zależności w równaniu określającym zasadę równoważności energii kinetycznej i pracy otrzymamy:

32 Wartość prędkości kątowej ω 1 Zasada równoważności energii kinetycznej i pracy dla ciała sztywnego Po zróżniczkowaniu względem czasu obu stron równania otrzymamy wartość przyspieszenia kątowego ε 1 Ponieważ to


Pobierz ppt "MECHANIKA 2 Wykład Nr 13 Dynamika ruchu płaskiego ciała sztywnego."

Podobne prezentacje


Reklamy Google