Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Układ wielu punktów materialnych BRYŁA SZTYWNA Wykład VII.

Коpie: 1
BRYŁA SZTYWNA. Układ punktów materialnych Jeśli zdefiniujemy pewną wielkość fizyczną dla punktu materialnego, to wielkość całkowita odpowiadająca układowi.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Układ wielu punktów materialnych BRYŁA SZTYWNA Wykład VII."— Zapis prezentacji:

1 Układ wielu punktów materialnych BRYŁA SZTYWNA Wykład VII

2 Układ punktów materialnych Jeśli zdefiniujemy pewną wielkość fizyczną dla punktu materialnego, to wielkość całkowita odpowiadająca układowi punktów materialnych jest sumą tych wielkości dla wszystkich punktów wchodzących w skład układu. (całkowita) masa układu (całkowity) pęd układu (całkowita) energia kinetyczna układu m1m1 m3m3 m2m2 p3p3 p2p2 p1p1

3 Środek masy x y z mimi Dla układu dyskretnego j est to punkt dla którego wektor położenia jest zdefiniowany następująco: gdzie M jest całkowitą masą. Dla bryły: r

4 np. Trzy identyczne cząstki x z y [1,0,0] [0,0,1] [0,1,0]

5 To powinny być funkcje. np. Cienki pręt jednorodny x z y dx L x A co będzie jeśli pręt nie jest jednorodny?

6 twierdzenia x dm r r Środek masy obiektu jednorodnego musi leżeć w jego środku symetrii. Położenie środka masy dwóch ciał jest związane z położeniem środków mas każdego z ciał.

7 II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) P dP dt F zewn W inercjalnym układzie odniesienia całkowita zmiana pędu układu cząstek jest proporcjonalna do wypadkowej sił zewnętrznych działających na ten układ

8 W inercjalnym układzie odniesienia przyspieszenie środka masy układu cząstek jest proporcjonalne do wypadkowej sił zewnętrznych. II zasada dynamiki Newtona (dla układu cząstek) a cm F zewn

9 Całkowity pęd i środek masy Całkowity pęd układu cząstek jest związany z prędkością środka masy tego układu

10 Układ punktów materialnych zastępujemy punktem o masie równej masie całego układu, położonym w punkcie, w którym znajduje się środek masy. Jeśli

11 Ruch środka masy – przykład Eksplodująca petarda. Układ izolowany: położenie środka masy nie zmienia się!

12 Ruch środka masy – przykład II

13 Astronauci i lina Dwóch astronautów pozostających w spoczynku w kosmosie, połączyło się nieważką liną. W pewnym momencie zaczynają ciągnąć linę, każdy w swoją stronę. Gdzie się spotkają? M = 1.5m m

14 Astronauci i lina l Oznaczmy prędkość środka masy V CM l V CM = 0. l V CM pozostaje równe zeru, bo nie ma sił zewnętrznych. l A więc CM nie porusza się! l Zatem muszą się spotkać w CM. Znajdźmy środek masy CM: M = 1.5m m CM L Niech początek układu współrzędnych x = 0 znajduje się w miejscu, w którym znajduje się astronauta po lewej stronie: x=0 x=L

15 Bryła sztywna Układ cząstek w którym odległości między cząstkami nie zmieniają się w czasie nazywa się bryłą sztywną. A Dowolny ruch bryły sztywnej można traktować jako superpozycję ruchu translacyjnego (postępowego) i obrotowego.

16 Środek masy Dla bryły sztywnej: y x dm r Dla bryły symetrycznej środek masy=środkowi symetrii Dla układu dyskretnego gdzie M jest całkowitą masą

17 Centre of mass End of hammer 1. Ruch postępowy środka masy 2. Obrót wokół środka masy Ruch bryły sztywnej

18 przykład

19 II zasada dynamiki Newtona (VI) (moment pędu układu cząstek) (W inercjalnym układzie odniesienia) moment siły wypadkowej działającej na układ cząstek jest równy szybkości zmian momentu pędu: i izewn i iwewn,, MM i izewn, M zewn M

20 i j Moment pędu układu punktów sztywno zamocowanych wokół osi: Rozważmy układ punktów sztywno zamocowanych w płaszczyźnie x-y, obracający się wokół osi z. Całkowity moment pędu jest sumą momentów pędu każdej cząstki: rr1rr1 rr3rr3 rr2rr2 m2m2 m1m1 m3m3 vv2vv2 vv1vv1 vv3vv3 L L jest w kierunku z. v i = r i (r i prostop. do v i ) Analog p = mv!! L =I

21 Obrót bryły sztywnej wokół ustalonej osi m1m1 1 y x z r1r1 v1v1 L1L1 1) Rozważmy masę m 1 przyczepioną do pręta o długości 1, który obraca się z prędkością wokół osi z.

22 pęd masy m 1 : p 1 = m 1 v 1 gdzie v 1 : v 1 = x 1 moment pędu L 1: L 1 = r 1 x p 1 Składowa r 1 prostopadła do to p 1 (i do v 1 ) to wektor 1 więc składowa z momentu pędu, L z1: L z1 = x p 1 L z1 = 1 x mv 1 lub L z1 = x m( x 1 ) stąd moment pędu, L L z1 = m m1m1 1 y x z r1r1 v1v1 L1L1

23 Ustalona lub chwilowa oś obrotu (II ZDNewtona VIII) Przyspieszenie kątowe ciała obracającego się wokół ustalonej lub chwilowej osi obrotu jest proporcjonalne do składowej momentu sił zewnętrznych równoległej do osi obrotu.

24 Moment bezwładności A A Układ cząstek : Ciało stałe r dm r i mimi

25 np. Moment bezwładności jednorodnego pręta 0 L y dx x L Obrót wokół końca Obrót wokół środka

26 Twierdzenie Steinera I = I sm + MD 2 L D=L/2 M x sm I sm I

27 Momenty bezwładności R R R R

28 Moment bezwładności L L

29 Moment pędu i prędkość kątowa W ogólności, każda składowa całkowitego momentu pędu zależy od wszystkich składowych prędkości kątowej. r

30 Moment pędu i prędkość kątowa lub inaczej: Składowe diagonalne – momenty bezwładności względem odpowiednich osi układu współrzędnych; Składowe nie diagonalne – dewiacyjne momenty bezwładności:

31 Wpływ symetrii Tylko dla ciał o odpowiedniej symetrii kierunek momentu pędu pokrywa się z kierunkiem wektora prędkości kątowej jest zwany momentem bezwładności ciała przy ruchu obrotowym wokół osi z

32 Osie główne Dla bryły sztywnej zawsze można znaleźć 3 wzajemnie prostopadłe osie obrotu dla których jest zawsze równoległe do Są to tzw. osie główne, zaś momenty bezwładności wokół tych osi nazywają się głównymi momentami bezwładności. Jeśli bryła sztywna jest symetryczna, to osie główne są jednocześnie osiami symetrii.np. sześcian, kula.

33 II zasada dynamiki Newtona ( VII) (dla ruchu obrotowego bryły sztywnej) Dla symetrycznych brył sztywnych przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do momentu wypadkowej sił zewnętrznych.

34 Praca w ruchu obrotowym FPraca siły F działającej na ciało, które może obracać się wokół ustalonej osi. FdrdW = F. dr = F R d cos( ) = FR cos( ) d dW = d W po scałkowaniu: W = Analog W = F r W < 0 jeśli i mają przeciwne zwroty! R F dr = R d d oś

35 Praca i moc w ruchu obrotowym d

36 Energia kinet. ruchu obrotowego i prędkość kątowa Praca i energia kinetyczna: K = W wyp Powyższe twierdzenie obowiązuje też dla ruchu obrotowego. Dla ciała obracającego się wokół ustalonej osi:

37 T Twierdzenie o równow. pracy i energii kinet. (całkowita energia kinet.) Całkowita praca wykonana przez wszystkie siły (zewn. i wewn.) nad układem cząstek jest równa zmianie całkowitej energii kinet. układu lub W

38 Całkowita energia kinetyczna bryły sztywnej Jeśli środek masy jest w punkcie A:

39 Praca i energia Dwa sznury są nawinięte wokół dwóch dysków o różnych promieniach ale o tym samym momencie bezwładności I. Do ich końców przyłożono taką samą siłę F która spowodowała ich odwiniecie o tę samą długość. Początkowo dyski są nieruchome ; założyć, że sznury nie ślizgają się po dyskach. –Który dysk ma większą prędkość kątową po pociągnięciu sznura? (a) (a) 1 (b) (b) 2 (c) (c) 1=2 FF 1 2

40 Praca i energia FF 1 2 d l Praca jest ta sama! çW = Fd Więc zmiana energii kinet. będzie też taka sama W = K. Ponieważ I 1 = I 2 1 = 2

41 Spadający ciężarek i krążek Z twierdzenia o równoważności pracy i całkowitej energii kinetycznej: K = W wyp = mgL I m R T v L

42 Spadający ciężarek i krążek Z drugiej strony: U =W wyp = K a stąd K + U = 0 czyli E=K + U = const Ten sam wynik można zatem otrzymać korzystając z zasady zachowania energii mechanicznej: Dla ciężarka nieruchomego na wysokości y=L: E=U=mgL. Dla ciężarka na wysokości y=0: E=K=K transl +K obrot zatem: K transl +K obrot =mgL I m R T v L y 0

43 Żyroskop

44 Prędkość precesji w N


Pobierz ppt "Układ wielu punktów materialnych BRYŁA SZTYWNA Wykład VII."

Podobne prezentacje


Reklamy Google