Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 6 09.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1): całka pól: łącząc.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 6 09.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1): całka pól: łącząc."— Zapis prezentacji:

1 MECHANIKA NIEBA WYKŁAD r

2 Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1): całka pól: łącząc powyższe równania otrzymujemy:

3 Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ Całkując otrzymane równanie dostajemy równanie Barkera: oznaczając ruch średni: i wykorzystując uzyskaną wcześniej zależność: można przepisać równanie Barkera w postaci:

4 Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ Różniczkując wyrażenie: i uwzględniając uzyskane wcześniej: otrzymujemy: które uzasadnia wcześniejszy wybór stałej k

5 Położenie punktu na orbicie h0h0 O W tym wypadku mamy trzy możliwe rodzaje ruchu: a)liniowy – c=0 b)hiperboliczny – c0, h>0 c)eliptyczny – c0, h<0 Rozpatrzmy równanie (5.5):

6 Położenie punktu na orbicie h0h0 O oznaczając: możemy przekształcić do postaci: a następnie korzystając z relacji (5.3): uzyskujemy:

7 Położenie punktu na orbicie h0h0 O definiując nową zmienną ρ(E): otrzymujemy: Rozwiązaniami takiego równania są (poza przypadkami ρ= 1): (5.6)

8 Położenie punktu na orbicie h0h0 O Podobnie jak to było robione dla przypadku h=0, z całkowania równania: dostajemy: Używając tego w równaniach (5.6):

9 Położenie punktu na orbicie h<0 O Drugie z otrzymanych równań odpowiada przypadkowi orbity eliptycznej. Uwzględniając trzecie prawo Keplera możemy je przekształcić do postaci: Wprowadzając anomalię średnią M dostajemy ostatecznie równanie Keplera: które pozwala otrzymać T – czas przejścia przez perycentrum w ruchu eliptycznym Postępując podobnie otrzymamy analogiczne równanie dla hiperboli.

10 Położenie punktu na orbicie h<0 O Równanie Keplera ma prostą postać, ale nie istnieje jego dokładne rozwiązanie. Jego przybliżone rozwiązania można podzielić na dwie grupy: a) analityczne – z własności funkcji sinus dokonuje się rozwinięcia w szereg b) numeryczne – wykorzystując różne metody rozwiązywania równań nieliniowych otrzymuje się przybliżenia o różnym stopniu zbieżności i dokładności

11 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Na początku należałoby pokazać, że to równanie ma jedno i tylko jedno rozwiązanie. W tym celu rozpatrzymy funkcję: oraz załóżmy: W takim razie: Funkcja F(E) ma co najmniej jeden pierwiastek w rozpatrywanym przedziale

12 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Zróżniczkujmy funkcję F(E): iloczyn ecosE jest mniejszy od 1 (mamy do czynienia z elipsą), czyli funkcja jest rosnąca w całym przedziale. Wnioskujemy stąd, że mamy tylko jeden pierwiastek w przedziale (nπ,(n+1)π). Następnym krokiem w rozwiązaniu równania Keplera jest znalezienie zerowego przybliżenia rozwiązania.

13 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Zerowe przybliżenie może być liczone na wiele różnych sposobów. 1.Jeśli mamy kilka wyznaczonych wartości E dla kilku dat to następną otrzymujemy poprzez ekstrapolację. 2.Można skorzystać z jednej z wielu metod graficznych, np.: 3.Znając M i e możemy także skorzystać z rozwinięcia w szereg: rysujemy w jednym układzie współrzędnych dwie krzywe: i znajdujemy E, dla którego przecinają się

14 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera Znalezione zerowe przybliżenie, E 0 może zostać uściślone w następujący sposób. Mamy: gdzie E jest dokładną wartością. Chcemy znaleźć ΔE 0. Z równania Keplera: ponieważ ΔE 0 jest bardzo małe więc: następnie powtarzamy procedurę aż do uzyskania założonej dokładności.

15 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera (metoda Newtona-Raphsona) Metoda N-R pozwala znaleźć miejsce zerowe funkcji f(x). Liczymy jej pochodną w punkcie x 1, przy czym f(x 1 )0. znajdujemy x 2 : wzór ogólny: pozwala wyznaczyć miejsce zerowe z zadaną dokładnością

16 Położenie punktu na orbicie Rozwiązanie równania Keplera (metoda Newtona-Raphsona) Metoda N-R dla równania Keplera: daje wzór ogólny postaci:

17 Położenie punktu na orbicie h<0 O Do wyznaczenia położenia ciała na orbicie eliptycznej otrzymaliśmy następujący zestaw równań:

18 Położenie punktu na orbicie h<0 O Współrzędne prostokątne i składowe prędkości wyznaczamy z (ćwiczenia): Wróćmy do przypadku h>0 (ruch po hiperboli)

19 Położenie punktu na orbicie h<0 SS a a P P r O ΠQ υH całkujemy oznaczamy: E jest hiperboliczną anomalią mimośrodową

20 Położenie punktu na orbicie h<0 SS a a P P r O ΠQ υH Porównując równania: otrzymujemy: a następnie:

21 Położenie punktu na orbicie h<0 SS a a P P r O ΠQ υH Uzyskane równania można wyrazić za pomocą funkcji trygonometrycznych wprowadzając nową zmienną H: wtedy: Z definicji funkcji hiperbolicznych: można pokazać, że:


Pobierz ppt "MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 6 09.04.2008 r. Położenie punktu na orbicie h=0 (uzupełnienie) Π r P O q υ h=0 oznacza ruch po paraboli (e=1): całka pól: łącząc."

Podobne prezentacje


Reklamy Google