Rozwiązanie d’Alemberta równania struny Ewelina Bednarz Łukasz Klita.

Prezentacja na temat: "Rozwiązanie d’Alemberta równania struny Ewelina Bednarz Łukasz Klita."— Zapis prezentacji:

1 Rozwiązanie d’Alemberta równania struny Ewelina Bednarz Łukasz Klita

2 Struna nieograniczona
ustalamy dwa warunki początkowe:

3 Równanie szczególne szukamy postaci:
Podstawiamy do równania: ODNOŚNIK Stąd otrzymujemy:

4 Funkcja jest rozwiązaniem szczególnym równania struny jeżeli :
stąd możemy zapisać: Zapiszmy teraz: (Przejście zostało wytłumaczone na tablicy podczas prezentacji) Stąd widać, że rozwiązaniem szczególnym będzie:

5 Zamiana zmiennych powrót

6 Wstawiając zmienne do równania otrzymujemy:

7 gdzie f1 i f2 są funkcjami wyłącznie x, h.
całkujemy tą równość po h przy ustalony x otrzymujemy: gdzie f1 i f2 są funkcjami wyłącznie x, h.

8 Wyliczamy funkcję f1 i f2, aby spełnione były warunki:
Całkując drugą równość otrzymujemy: Pamiętając: dodajemy i odejmujemy stronami ów układ równań

9 Otrzymujemy: Podstawmy znalezione funkcje do równania

10 h=k Zatem nasze U(x,t) będzie miało postać: Zauważmy, iż dla t=0:
U(x,0)=φ(x) a zatem oczywistym jest, że: h=k

11 Ostateczna postać, wzór d’Alemberta:

12

13 Dalszy ciąg dowodu poprzez zamianę zmiennych,
przyjmujemy zmienny jak wcześniej powrót

14 Zobaczmy teraz co się stanie po prawej stronie

15 Na razie wykazaliśmy równość całek został nam jeszcze do sprawdzenia
pierwszy człon rozwiązania: pamiętając

16 Obliczenia dla prawej strony równania:
przypomnijmy

17 ostateczna postać dowodu :
THE END

18 ODNOŚNIK powrót

19 Autorzy Ewelina Bednarz Łukasz Klita Dziękujemy za uwagę