Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

09-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 19 8.2 Relatywistyczne równanie ruchu 8.3 Zasada zachowania energii 8.3.1 Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "09-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 19 8.2 Relatywistyczne równanie ruchu 8.3 Zasada zachowania energii 8.3.1 Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Relatywistyczne równanie ruchu 8.3 Zasada zachowania energii Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała o masie spoczynkowej m Transformacja pędu i energii pomiędzy dwoma układami poruszającymi się względem siebie prostoliniowo 8. Dynamika relatywistyczna 8.1 Zasada zachowania pędu w szczególnej teorii względności- Pęd relatywistyczny 8.4 Interwał czasoprzestrzenny - czterowektor

2 Reinhard Kulessa2 8.Dynamika relatywistyczna 8.1 Zasada zachowania pędu w szczególnej teorii względności- Pęd relatywistyczny Przy podejściu klasycznym zasada zachowania pędu dla N punktów materialnych w układzie nieruchomym U ma postać;.(8.1) Wyrażenie to było słuszne dla transformacji Galileusza we wszystkich układach inercjalnych. W układzie U poruszającym się z prędkością v 0 względem układu U, pęd każdej cząstki zmienia się o m i v 0, a całkowity pęd o. Przez to zmienia się jednak tylko wartość stałej, i prawo zachowania pędu jest również ważne w układzie U.

3 Reinhard Kulessa3. (8.2) Jeśli jednak zastosujemy przy przejściu z układu U do U transformację Lorentza, prawo zachowania pędu w swej dotychczasowej postaci przestanie działać. Rozpatrzmy ten problem na przykładzie elastycznego zderzenia dwóch równych mas, przy czym U =U S=CM. v1v1 v 1 v2v2 v 2 USUS U x xSxS y ySyS v 1S v 2S Proton 1 Proton 2 v0v0 a b A) B)

4 Reinhard Kulessa4 Układ laboratoryjny charakteryzuje się tym, że drugi proton w tym układzie nie porusza się wzdłuż osi x. Poniższa tabela przedstawia prędkości obydwu protonów przed i po zderzeniu w układzie środka masy U S i transformację Lorentza tych prędkości do układu laboratoryjnego U. Układ środka masy U S Układ laboratoryjny U Proton 1: m 0 Proton 2: m 0

5 Reinhard Kulessa5 A)W układzie środka masy U S obydwa protony przed zderzeniem posiadają prędkości v 1S i v 2S =-v 1S. W zderzeniu składowe y-kowe prędkości zmieniają znak tak, że całkowity pęd nierelatywistyczny zostaje zachowany. B) Jeśli dokonamy transformacji pędu cząstek przed lub po zderzeniu z powrotem do układu laboratoryjnego U korzystając z relatywistycznej zasady dodawania prędkości, otrzymamy na składową y-kową całkowitego pędu przed zderzeniem P y, i po zderzeniu P y wyrażenia, oraz

6 Reinhard Kulessa6. Ponieważ P y =-P y, pęd przed zderzeniem jest inny niż po zderzeniu. Zachodzi to dla wszystkich układów współrzędnych poruszających się z dowolną prędkością v 0, względem układu środka masy. Pęd zdefiniowany w sposób klasyczny p=m 0 v jest zachowany tylko w układzie środka masy. Okazuje się, że we wszystkich układach zachowany jest tzw. pęd relatywistyczny.. (8.3)

7 Reinhard Kulessa7 m 0 jest masą spoczynkową ciała. Ażeby pokazać, że tak zdefiniowany pęd jest zachowany, policzmy znów składowe y-kowe przed i po zderzeniu w układzie środka masy U S i układzie laboratoryjnym U. A) Układ U S, gdyż v 1 = -v 2. Zachodzi więc (P sy ) rel = 0, oraz (P sy ) rel = 0. Pęd jest więc zachowany. B) Układ U Dokonajmy transformacji do układu laboratoryjnego korzystając z relatywistycznego prawa dodawania prędkości. Zmiana znaków składowych y-kowych w układzie U=U S

8 Reinhard Kulessa8. Proszę wykonać obliczenia we własnym zakresie. Mamy więc (P y ) relv = (P 1y ) rel + (P 2y ) rel = 0 przed zderzeniem. Ten sam wynik uzyskamy licząc to po zderzeniu. (P y ) rel = (P y ) rel, czyli pęd relatywistyczny jest zachowany. Wyrażenie na pęd relatywistyczny (8.3) ma więc dwie ważne własności. 1.Dla v<

9 Reinhard Kulessa9 2.Wyrażenie to jest niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza, tzn. zachowanie p rel w jednym układzie inercjalnym oznacza zachowanie we wszystkich innych. We wzorze (8.3) można opuścić oznaczenie rel. Podstawowym postulatem mechaniki relatywistycznej jest żądanie zachowanie relatywistycznego pędu we wszystkich układach inercjalnych. Z tego postulatu, oraz z klasycznego równania ruchu wynika cała dynamika relatywistyczna. Przy braku sił zewnętrznych relatywistyczne prawo zachowania pędu ma postać,. (8.4)

10 Reinhard Kulessa10 Wyrażenie (8.5) nazywamy masą relatywistyczną. Równanie p = m v jest znów ważne. Masa jest więc zależna od prędkości.

11 Reinhard Kulessa Relatywistyczne równanie ruchu Relatywistyczne równanie ruchu możemy napisać w postaci:.(8.6) Otrzymamy więc,. Rozpisując to równanie na składowe otrzymujemy; (8.7) Zasadnicza różnica pomiędzy tym równaniem a klasycznym

12 Reinhard Kulessa12 ruchu polega na tym, składowa siły np. F x jest przyczyną przyśpieszenia o składowych we wszystkich kierunkach. Mamy więc sprzężenia pomiędzy współrzędnymi. 8.3 Zasada zachowania energii Odstępstwa relatywistycznego równania ruchu od klasycznego prowadzi do zmiany zależności pomiędzy energią kinetyczną a prędkością. Zależność tą znajdziemy z faktu, że praca jaką wykonuje siła przy przyśpieszeniu ciała jest równa energii kinetycznej przyśpieszanej cząstki., gdyż.

13 Reinhard Kulessa13 Otrzymujemy więc całkując przez części;. Z kolei z powodu.

14 Reinhard Kulessa14 Jeśli zażądamy, aby dla zerowej prędkości energia kinetyczna również była zero, otrzymujemy;. Na relatywistyczną energię kinetyczną otrzymujemy ostatecznie wyrażenie;. (8.8) Zgodnie z tym równaniem zmiana energii kinetycznej powoduje zmianę masy;.

15 Reinhard Kulessa15 Jeśli jakaś zewnętrzna siła wykonuje na swobodnej masie pracę, to ta masa relatywistyczna zmienia się o wielkość dostarczonej energii dzielonej przez c 2. Podobna rzecz jest również ważna dla energii potencjalnej. Dla dwóch punktów masowych energia potencjalna;. Dla układu izolowanego zmiana energii potencjalnej powoduje zmianę energii kinetycznej, a tym samym masy. Całkowita masa relatywistyczna jest zachowana. Musi się więc zmienić masa spoczynkowa cząstek;.

16 Reinhard Kulessa16 Z równania (8.8) mamy;. Z faktu że wynika, że całkowita energia relatywistyczna ciała(punktu) o masie m jest równa;.(8.9) E 0 jest energią masy spoczynkowej m 0. Dla układu N punktów materialnych o całkowitej energii potencjalnej, całkowita energia wynosi w układzie, w którym środek masy porusza się z prędkością a jest prędkością i-tego punktu w układzie środka masy;

17 Reinhard Kulessa17. Widzimy więc, że gdy na układ nie działają żadne siły zewnętrzne, energia relatywistyczna, która tak jak energia klasyczna jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej jest zachowana.

18 Reinhard Kulessa Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała o masie spoczynkowej m 0 W oparciu o równania (8.3) i (8.9) otrzymujemy;. Eliminując z tych równań v 2 otrzymujemy;. (8.10) Podstawiając do tego równania, otrzymamy;

19 Reinhard Kulessa19.(8.11) Często używamy również wyrażenia:.(8.12) Transformacja pędu i energii pomiędzy dwoma układami poruszającymi się względem siebie prostoliniowo W oparciu o równania (8.3) i (8.9) możemy wyrazić energię i pęd poprzez masę spoczynkową cząstki i prędkość. Masa spoczynkowa jest niezależna od układu współrzędnych.

20 Reinhard Kulessa20 Poznaliśmy również wyrażenia na transformację prędkości. Przyjmijmy, że układ U porusza się względem układu U z prędkością. Wtedy, (8.13).

21 Reinhard Kulessa Interwał czasoprzestrzenny - czterowektor Pamiętamy, że miarą odległości między punktami 1 i 2 jest interwał, lub przedział przestrzenny zdefiniowany jako; W fizyce relatywistycznej nie można rozpatrywać współrzędnych przestrzennych niezależnie od czasu. Czas należy traktować jako czwartą współrzędną, która razem ze współrzędnymi tworzy czasoprzestrzeń. Aby zgadzały się wymiary za czwartą współrzędną używa się ct. Miarą odległości w cztero- wymiarowej przestrzeni jest interwał czasoprzestrzenny,.

22 Reinhard Kulessa22 (8.14), w układzie nieruchomym, a w układzie ruchomym; Jeśli wykorzystamy transformację Lorentza do porównania obydwu wielkości, okazuje się, że. Okazuje się więc, że interwał czasoprzestrzenny jest niezmiennikiem transformacji Lorentza i jest w każdym układzie taki sam.

23 Reinhard Kulessa23 Z kolei z równania (8.10) mamy;. Lewa strona tego równania jest kwadratem energii spoczynkowej ciała. Wielkość ta musi być taka sama we wszystkich układach współrzędnych.. Możemy więc napisać:. (8.15) Wyrażenie to ma postać analogiczną do interwału czasoprzestrzennego,

24 Reinhard Kulessa24. Możemy więc napisać, że m 0 c jest bezwzględną wartością czterowektora pędu i energii. Notacje dla czterowektorów bywają różne. Przytoczę tutaj jedną z nich. p. Do analogicznego wniosku dochodzimy w oparciu o transformację pędu, daną wzorem (8.13).

25 Reinhard Kulessa25 Składowe pędu i energii transformują się analogicznie jak współrzędne x, y, z i t. Czyli tworzą również czterowektor. Prawo zachowanie pędu i energii można więc ująć razem w zasadę zachowania czteropędu;.(8.16)


Pobierz ppt "09-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 19 8.2 Relatywistyczne równanie ruchu 8.3 Zasada zachowania energii 8.3.1 Zależność pomiędzy pędem a energią dla ciała."

Podobne prezentacje


Reklamy Google