Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU Wykład 5. 1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU Wykład 5. 1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym."— Zapis prezentacji:

1 RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU Wykład 5

2 1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym.

3 (1) Składowa jednostkowe siły masowej wynoszą: (2) Po podstawieniu (1) do (2) otrzymamy: (3) a po scałkowaniu (4) Wyznaczamy powierzchnię jednakowego ciśnienia. Ogólnie równanie ma postać:

4 Po przekształceniu otrzymamy kierunkowe równanie płaszczyzny nachylonej do poziomu pod kątem, oznaczonym na rys. 1. zatem Widać zatem, że w rozpatrywanym przypadku powierzchnie jednakowego ciśnienia są płaszczyznami nachylonymi do poziomu pod kątem. (5) (6)

5 Stałą c wyznaczamy z warunku, że gdy x=0 i z=0, to, zatem. Równanie (9) przybiera więc postać: Rozkład ciśnienia wyznaczamy z zależności Która po podstawieniu wartości składowych jednostkowej siły masowej, określonym równaniem (2) przybiera postać. (7) (8) Po scałkowaniu (9) (10)

6 2. Równowaga względna cieczy w ruchu jednostajnie obrotowym wokół pionowej osi.

7 Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą: (11) Po podstawieniu do równani (1) otrzymamy: (12)

8 Po scałkowaniu (13) Ponieważ, to równanie (13) przybiera postać (14)

9 Równanie swobodnej powierzchni cieczy wyznaczamy dobierając stałą c tak, aby dla r=0 współrzędna (wierzchołek paraboli). Stała. Po podstawieniu do (14) otrzymujemy równanie swobodnej powierzchni cieczy w postaci (15) lub (15a) - współrzędna z wierzchołka paraboli

10 Jeśli naczynie w stanie spoczynku było wypełnione do wysokości h, to wyznaczamy z porównania objętości (16)

11 (16a) Dla z równania (15) otrzymujemy skąd współrzędna. Po podstawieniu do równania powierzchni (15) otrzymamy (17) (18) Po podstawieniu do (16) i uproszczeniu

12 (19) ROZKŁAD CIŚNIEŃ Po podstawieniu (11) do (7) otrzymamy; Po scałkowaniu a po przekształceniu (20) (21) Stałą c wyznaczamy z warunku: i po podstawieniu jej do równania (21) otrzymamy równanie na rozkład ciśnienia w postaci: (22) Gdzie występuje największe ciśnienie?

13 3. Równowaga względna płynu w ruchu jednostajnie obrotowym wokół poziomej osi. a)w naczyniu całkowicie wypełnionym cieczą

14 Składowe jednostkowe siły masowej wynoszą: Po podstawieniu do równania jednakowej powierzchni ciśnienia Xdx+Ydy+Zdz=0 otrzymamy: (23) Po scałkowaniu (24) (25) a po przekształceniu (26)

15 Jest to równanie powierzchni walcowych o osi przesuniętej w górę względem osi obrotu o odległość. Odległość tę wyznaczamy z podobieństwa trójkątów, zatem.

16 Po podstawieniu składowych siły masowej (23) do równania na rozkład ciśnienia otrzymamy: (27) które po scałkowaniu przybiera postać lub Gdy to i powierzchnie ekwipotencjalne stają się walcami o osi pokrywającej się z osią obrotu (warunek brzegowy r=0, z=0 to p=pb). Wzór na rozkład ciśnienia przybiera postać (28) (29) (30)

17 b) w naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą (31) W naczyniu nie wypełnionym całkowicie cieczą równowaga względna zachodzi dopiero przy dostatecznie dużej prędkości kątowej. Gdy, to, a wzór na ciśnienie przybiera postać:

18 Przykład 1: Naczynie wypełnione wodą o gęstości ρ=1000kg/m 3 obraca się jednostajnie wokół osi pionowej. Średnica naczynia wynosi D=2R=2m. Obliczyć prędkość kątową przy której zwierciadło wody dotknie dna naczynia. Poziom cieczy w stanie spoczynku wynosi H=10m.

19 Objętość paraboloidy obrotowej Z bilansu objętości wynika, że Równanie powierzchni ekwipotencjalnej (15a) ma postać (32) (33) (34) (35) Dla punktu z=h i r=R i podstawieniu (34) skąd (36) (37)

20 Przykład 2: Naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełniono całkowicie cieczą. Jaka objętość cieczy przeleje się przez obrzeże naczynia jeśli wiruje ono z prędkością kątową ω.

21 Przykład 3 Zbiornik stożkowy o wymiarach R i H, napełniony całkowicie cieczą, wprowadzono w ruch jednostajnie obrotowy wokół pionowej osi. Przy jakiej prędkości kątowej powierzchnia swobodna cieczy będzie styczna do ściany zbiornika ?

22 Równanie swobodnej powierzchni cieczy ma postać: (1) a po przekształceniu (2) Pochodna dr/dz wynosi a w punkcie z=H odpowiednio (3) (4) Równanie (1) dla z=H i r=R przybiera postać: (5)

23 Stąd (6) Po podstawieniu równania (6) do (4) otrzymamy: (7)

24 Przykład 4 Zbiornik w kształcie sześcianów o boku b wirują w płaszczyźnie poziomej w odległości r od osi obrotu. Oblicz liczbę obrotów n, przy której ściany zbiorników bliższe osi będą suche.

25 Po odjęciu stronami wyrażenia (2) i (1) (1) (2) Zapiszemy równanie swobodnej powierzchni cieczy dla r i r+b (3) stąd (4) Prędkość obrotowa wynosi (5)

26 Przykład 5 Znaleźć kształt powierzchni jednakowego ciśnienia dla cieczy wypełniającej naczynie cylindryczne wirujące dookoła pionowej osi i zsuwającej się po gładkiej osi nachylonej do poziomu pod kątem.

27 Na cząstkę cieczy w dowolnym punkcje M działają siły masowe:. Składowe jednostkowej siły masowej wynoszą odpowiednio: Równanie powierzchni jednakowego ciśnienia przybiera więc postać: Po scałkowaniu : Powierzchnie jednakowego ciśnienia mają więc kształt paraboloid obrotowych

28 Przykład 6 Zamknięte naczynie cylindryczne o średnicy D i wysokości H wypełnione jest cieczą do wysokości h. Przy jakiej prędkości kątowej paraboloidy tworzącej powierzchnię swobodną dotknie dna.

29 (1) a) Dla h

30 Po podstawieniu do (1) otrzymamy: (3) b) Dla h>H/2

31 (4) Równanie powierzchni swobodnej ma postać ( ) a w punkcie A zachodzi równość Wartość promienia wyznaczamy z porównania objętości nad powierzchnią swobodną w czasie spoczynku i w czasie ruchu. (5) stąd (6) Po podstawieniu (6) do (4) otrzymamy: (7)


Pobierz ppt "RÓWNOWAGA WZGLĘDNA PŁYNU Wykład 5. 1. Równowaga względna płynu w ruchu postępowym, prostoliniowym, jednostajnie przyśpieszonym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google