Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II."— Zapis prezentacji:

1 1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II

2 2 Z protonów i jeden elektron: Podstawiając funkcję postaci:

3 3 otrzymamy:

4 4 Wykorzystując inną postać laplasjanu:

5 5 Rozpatrzymy najpierw przypadek = 0 (funkcja Y,m stała, brak zależności od kątów, symetria kulistosymetryczna), co oznacza brak wyrazu z energią kinetyczną ruchu obrotowego:

6 6 Po podstawieniu: promień Bohra Rydberg otrzymamy:

7 7 Przyjmiemy, że: oraz: Ponieważ:

8 8 oraz: otrzymamy:

9 9 Możemy wykorzystać swobodę w wyborze α i przyjąć: wówczas otrzymamy: Szukamy rozwiązań w postaci szeregu:

10 10 Wyliczamy pierwszą i drugą pochodną: podstawiając otrzymamy: Przenumerowujemy pierwszą sumę (za k podstawiamy k+1):

11 11 Skąd otrzymujemy rekurencyjny wzór na współczynniki a k : Szereg taki będzie równy 0 dla każdej wartości ρ tylko wtedy, gdy: pozwalający wygenerować wszystkie współczynniki a k (musimy tylko nadać wartość współczynnikowi a 1 ) a potem otrzymać funkcję g, f, i na końcu R.

12 12 Dla dużych ρ (czyli dla dużych k): Czy takie rozwiązanie jest fizycznie prawidłowe? czyli: i: a funkcja f: zmierza do nieskończoności dla dużych odległości elektronu od jądra; rozwiązanie niefizyczne

13 13 Sposobem na rozwiązanie problemu jest przyjęcie warunku, że: Równe zeru będą także następne wyrazy i dostaniemy wielomian o skończonym rzędzie n, rosnący wolniej niż funkcja eksponencjalna. Mamy wówczas:

14 14 W konsekwencji: tzn. dopuszczone są tylko dyskretne wartości energii, tak jak w teorii Bohra. Wartości te odpowiadają kolejnym wartościom liczby n, która, tak jak w teorii Bohra, gra rolę głównej liczby kwantowej

15 15 Natomiast część radialna funkcji falowej wyrazi się: gdzie: oraz:

16 16 Kilka pierwszych funkcji radialnych dla = 0:

17 17 Wracamy do pełnego równania radialnego, dopuszczamy zatem różne od zera: Po wykonaniu podstawień, takich samych jak dla przypadku sferycznie symetrycznego:

18 18 Otrzymujemy, podobnie jak poprzednio równanie radialne (z dodatkowym wyrazem): Ten dodatkowy wyraz da dodatkowy wyraz w rozwinięciu potęgowym funkcji g(ρ):

19 19 Z wyrazu tego wydzielamy pierwszy wyraz i przenumerowujemy całą sumę: Ponieważ jest różne od zera, a 1 musi być równe zeru.

20 20 Zerowanie innych wyrazów zajdzie wtedy gdy: co stanowi zmodyfikowany związek rekurencyjny na współczynniki rozwinięcia funkcji g(ρ). Tak jak poprzednio, szereg musi się urywać, co zajdzie dla k = n, gdy:

21 21 Ponieważ więc każdy kolejny wyraz będzie równy 0, włącznie z wyrazem k =. Pierwszym wyrazem, który może być różny od zera, będzie wyraz a+1, ze względu na postać wzoru rekurencyjnego (obecność wyrazu (+1)). Zatem, żeby nie okazało się, że wszystkie wyrazy są równe zeru, musi zachodzić: bo a n+1 i następne wyrazy także muszą być równe 0. Dla danego n, k biegną od +1 do n. Dozwolone wartości biegną od 0 do n – 1.

22 22 Dla małych ρ w funkcji R, równej: dominować będzie wyraz z A więc funkcje radialne R, dla większych wartości, będą znacząco różnić się od zera dalej od jądra. Przykłady funkcji radialnych R dla kilku wartości głównej (n) i pobocznej () liczby kwantowej:

23 23

24 24 Radialna gęstość prawdopodobieństwa dla elektronów 3s, 3p i 3d w atomie H Choć średnio elektron 3s jest dalej od jądra, prawdopodobieństwo znalezienia go w obszarze bliskim jądra jest większe niż dla elektronu 3p i 3d

25 25 Schemat poziomów energetycznych atomu wodoru; diagram Grotriana Dla jonów wodoropodobnych zmiana skali E ze względu na Z Degeneracja ze względu na (degeneracja orbitalna)


Pobierz ppt "1 ATOM WODORU, JONY WODOROPODOBNE; PEŁNY OPIS CZĘŚĆ II."

Podobne prezentacje


Reklamy Google