Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

19-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 23 10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej 10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "19-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 23 10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej 10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Składanie ruchów harmonicznych Ruchy wzdłuż jednej prostej Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych 10.6 Oscylatory sprzężone Przypadek rezonansu Przesunięcie fazowe Średnia moc absorbowana przez oscylator 10.4 Drgania wymuszone oscylatora

2 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa Drgania wymuszone oscylatora Oscylator wykonuje drgania wymuszone, jeżeli istnieje zewnętrzna siła F(t) przyłożona do niego. (10.9). Załóżmy, że siła wymuszająca jest siłą periodyczną taką, że.

3 Reinhard Kulessa3 3 W stanie równowagi drgania oscylatora harmonicznego następują z częstością wymuszającą, a nie z częstością własną 0. Będziemy szukali rozwiązania w postaci ;. (10.10) W ostatnim równaniu jest fazą pomiędzy przemieszczeniem a siłą wymuszającą drgania. informuje nas o kącie, z jakim przemieszczenie wyprzedza maksimum siły. F(t)x(t) t

4 Reinhard Kulessa4 4 Równanie (10.9) przyjmuje wtedy postać. Stosując tożsamości trygonometryczne na sinus i cosinus sumy kątów, oraz przegrupowując otrzymane równanie, otrzymamy,.

5 Reinhard Kulessa5 5 Ażeby to równanie było spełnione muszą być spełnione dwa warunki. 1. Otrzymujemy stąd: (10.11). Otrzymujemy również wyrażenia;.

6 Reinhard Kulessa (10.12) Z wyrażenia tego uzyskujemy wyrażenie na amplitudę x 0. (10.13). Możemy więc podać już ogólne rozwiązanie dla drgań wymuszonych oscylatora harmonicznego:. (10.14)

7 Reinhard Kulessa Zjawisko rezonansu Równanie (10.13) pokazuje nam, że amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości siły wymuszającej. Zależność tą pokazuje poniższy rysunek. 0 / x 0 ( ) x max 0 / 0 0 >>1 Dla częstości = 0 amplituda jest maksymalna.

8 Reinhard Kulessa8 Zobaczmy w jaki sposób zmienia się krzywa rezonansowa dla różnych parametrów tłumienia 0 x 0 ( ) r < 2 < 3

9 Reinhard Kulessa9 Dla bardzo małych częstości wymuszających << 0 wychylenie oscylatora jest niezależne od częstości wymuszającej.. Równanie to przedstawia znane nam już Prawo Hookea. Dla >> 0 amplituda drgań spada do zera. Dla wzrastającej częstości amplituda rośnie wraz z częstością (patrz wzór (10.13)) i osiąga maksimum dla częstości rezonansowej r. Przy czym.

10 Reinhard Kulessa Przesunięcie fazowe Rozważmy w oparciu o równanie (10.12) jak zmienia się z częstością drgań oscylatora kąt fazowy = = 1 Kąt ten jest zawsze ujemny, co oznacza, że wychylenie jest zawsze opóźnione w stosunku do siły wymuszającej. Dla częstości równej 0 przesunięcie to wynosi Dla dużych częstości wychylenie może być przeciwne do siły wymuszającej, czyli

11 Reinhard Kulessa Średnia moc absorbowana przez oscylator Średnią absorbowaną moc możemy policzyć, jeśli znamy pracę wykonaną w jednostce czasu. Korzystając z relacji trygonometrycznych możemy poprzednie równanie doprowadzić do postaci:. Możemy więc wyliczyć moc wyśredniowaną po czasie jako;.

12 Reinhard Kulessa12 Pierwsze dwie składowe funkcji podcałkowej zawierają odpowiednio funkcje sin(2 t) i cos(2 t) dadzą średnią wartość równą zero. Po wycałkowaniu pozostaje więc tylko;. W oparciu o wzory (10.11) i (10.12) otrzymujemy,.(10.15) Widzimy więc, że absorbowana przez oscylator moc ma również maksimum dla swojej częstości rezonansowej.

13 Reinhard Kulessa13 0 P( ) 2 =1/ L maks =1/2m 0 2 L maks /2 Krzywa rezonansowa średniej absorbowanej mocy spada do zera po obu stronach częstości rezonansowej. Szerokość linii rezonansowej decyduje o ostrości tej linii. Półszerokość krzywej rezonansowej jest równa odwrotności czasu relaksacji. Zachodzi również;.

14 Reinhard Kulessa14

15 Reinhard Kulessa15

16 Reinhard Kulessa Składanie ruchów harmonicznych Ruchy wzdłuż jednej prostej Najprostszym przykładem dodawania ruchów harmonicznych jest dodawanie ruchów odbywających się wzdłuż jednej prostej. Możemy wtedy zastosować zasadę superpozycji. Otóż jeżeli x 1 (t) opisuje ruch ciała pod działaniem siły F 1 (t), a x 2 (t) opisuje ruch pod wpływem siły F 2 (t), wtedy x 1 (t) + x 2 (t) opisuje ruch pod wpływem sumy sił F 1 (t) + F 2 (t)..

17 Reinhard Kulessa17 Możliwości składania ruchów jest wiele. Dodajmy dwa ruchy harmoniczne wzdłuż jednej prostej różniące się częstością, tak, że 2 > 1.. Otrzymamy wtedy;. (10.16) Widzimy, że amplituda drgań (nawias kwadratowy) zależy od różnicy częstości. Dla częstości różniących się nieznacznie będziemy mieli do czynienia z dudnieniem.

18 Reinhard Kulessa18 Górna część rysunku przedstawia dudnienia przy nakładaniu się dwóch drgań o częstościach 1 / 2 = 9/8, a dolna dla stosunku 1 / 2 = 9/3. DUDN

19 Reinhard Kulessa19 Superpozycja dwóch drgań harmonicznych nie jest drganiem harmonicznym. t x(t) x(t)=x 1 (t)+x 2 (t) x 1 (t) x 2 (t)

20 Reinhard Kulessa Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych Rozważmy dwa drgania prostopadłe o jednakowych częstościach.. Drugie równanie możemy przekształcić do postaci;. Z pierwszego równania znajdujemy, że; Możemy więc równanie na y(t) napisać w postaci;

21 Reinhard Kulessa21. Podnosząc ostatnie równanie do kwadratu otrzymujemy ogólne równanie elipsy.. (10.17) y x y(0) y Położenie osi elipsy pozwala wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego..

22 Reinhard Kulessa22 Dla różnic faz = 0 0, = 90 0 i = 180 0, występują szczególne przypadki. 1. = 0 0, linia prosta o dodatnim nachyleniu,. 2. = 90 0, elipsa o osi głównej równoległej do osi y, a w przypadku gdy x 0 = y 0 otrzymujemy okrąg ze środkiem w początku układu. 3. = 180 0, prosta o ujemnym nachyleniu,.

23 Reinhard Kulessa23 Dla stosunku częstości dodawanych drgań, które w ogólnym przypadku może być równe;, otrzymujemy figury Lissajous.

24 Reinhard Kulessa24

25 Reinhard Kulessa Oscylatory sprzężone x y Równanie ruchu możemy napisać następująco: APLET Wprowadźmy oznaczenia: Co odpowiada odpowiednio:

26 Reinhard Kulessa26 Dodajmy i odejmijmy równania stronami i skorzystajmy z wprowadzonych oznaczeń: Dostajemy dwa równania opisujące drgania normalne

27 Reinhard Kulessa27 Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy, że x 0 = y 0. Obydwa oscylatory drgają więc w tej samej fazie. Sprzęgająca je sprężyna nie jest napięta. Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy x 0 = -y 0. Oscylatory drgają w przeciwfazie. Sprzęgająca je sprężyna jest maksymalnie obciążona. Powoduje to wzrost częstości względem 0. Przedyskutujmy otrzymane dwa rozwiązania na częstość; oraz. 1. Rozwiązanie = 0 2. Rozwiązanie 2 = C/m Sprzężone oscylatory mogą więc drgać w fazie i przeciwfazie. Innych możliwości nie ma. Obydwa rodzaje drgań mogą jednak wystąpić równocześnie.


Pobierz ppt "19-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 23 10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej 10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych."

Podobne prezentacje


Reklamy Google