Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 szczególnych Granice ci ą gów. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 szczególnych Granice ci ą gów. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."— Zapis prezentacji:

1

2 1 szczególnych Granice ci ą gów. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

3 2 W dotychczasowym kursie matematyki, poznaliśmy szczególne ciągi takie jak : arytmetyczne, geometryczne, harmoniczne, ciąg postaci ciąg Fibonacciego. Rozpatrzymy interesujące i ważne w analizie matematycznej, Badaliśmy granice ciągu : arytmetycznego, Teraz wyznaczymy granice wymienionych ciągów. Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu Gdy na kalkulatorze wystukamy kilka kolejnych wyrazów dojdziemy do wniosku, że granicą, najprawdopodobniej 1. ciągi : harmonicznego, tego ciągu, jest liczba geometrycznego, postaci wymierneji innych.

4 3 Udowodnimy że : * Jeżeli * * Jeśli i możemy przyjąćgdzie Zatem z dwumianu Newtona Stąd, to powyższa równość Mamy więc nierówność Ponieważ więc stosując twierdzenie o trzech ciągach, * * * Jeśli to Wtedy cbdu. * * * zachodzi.

5 4 Wyznaczmy kilka początkowych wyrazów ciągu Po wystukaniu na kalkulatorze kilka kolejnych wyrazów podejrzewamy, że granicą jest Dowód że przebiega jak poprzednio. * Dla powyższa równość i możemy przyjąć gdzie * * Gdy mamy Stąd Dla zachodzi tego ciągu,

6 5 cbdu. Mamy więc nierówność Ponieważ więc stosując twierdzenie o trzech ciągach, otrzymujemy Zatem * * * Ćwiczenie 1. Oblicz granicę ciągu

7 6 Obliczmy granicę ciągu Ciągiem o wyrazach mniejszych może być każdy Jeżeli pod pierwiastkiem ma być suma trzech potęg, to jakich ? Teraz jasne jest, który z wcześniej wymienionych ciągów wziąć Ponieważ w przepisie tego ciągu nie możemy nic zmienić, ( nie ma twierdzenia o pierwiastkowaniu sumy, to jedyną szansą znalezienia ewentualnej granicy Musimy znaleźć dwa ciągi ograniczające ten ciąg A jaki wziąć ciąg o wyrazach większych ? Wpadliście na pomysł ? Oczywiście, jest twierdzenie o granicy trzech ciągów. zbieżne do tej samej granicy. jako ciąg o wyrazach mniejszych. Ćwiczenie 2: ani o dodawaniu potęg ) z ciągów jeden z dołu ( o wyrazach mniejszych ),drugi z góry

8 7 bo Zatem * * * Twierdzenie o trzech ciągach jest stosowane przy badaniu granic Dzięki temu twierdzeniu, klasa ciągów których granice potrafimy obliczyć, zdecydowanie powiększyła się. * * * Zapiszmy nasz pomysł. ciągów pewnej postaci.

9 8 Widać, że w wyrażeniu nic nie możemy przekształcić. Stąd, należy obliczyć granicę w nietypowy sposób, stosując odpowiednie twierdzenia. Ze wzorów i tw. o trzech cg. Zatem * * * Znaną nierówność przekształćmy, tak by otrzymać interesujące nas wyrażenie Obliczmy granicę ciągu Ćwiczenie 3.

10 9 Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak Obecnie możemy pokazać, dlaczego jest to symbol nieoznaczony. Ciągi : są ciągami, których granice są typu Wyznaczmy ich granice. Granice są różne i zależne odprzepisów ciągów. dalej j.w. j.w. Udowodniliśmy, że

11 10 Rada : Wyznacz granicę ciągów : * * * jest rosnący i ograniczony. Na podstawie twierdzenia, wiemy, że jest Niestety, nie potrafimy wyznaczyć granicy tego ciągu. Dowiedliśmy również, że granica nie może być większa od 3. Nawet kalkulator, który był pomocny w poprzednich ciągach, nie bardzo pomoże, błędy zaokrągleń, zbieżny. W prezentacji o szczególnych ciągach, wykazaliśmy, że ciąg przy obliczeniach należy uwzględnić którego nie umiemy wyznaczyć.

12 11 Na razie, podajmy ją z przybliżeniem do 5 cyfr po przecinku. W dodatku dla dociekliwych wykażemy, że jest to liczba Niewymierność tej liczby jest inna niż np. jest paskudniejsza. Takie liczby noszą ponurą nazwę liczb Jedną z nich, już dawno znacie, jest to liczba. Stąd Słynny matematyk Euler, który pierwszy zainteresował się tą liczbą, oznaczył ją literą Liczba odgrywa w analizie matematycznej Ale o tym będzie mowa w późniejszym kursie matematyki. niewymierna. przestępnych. bardzo ważną rolę.

13 12 Teraz zajmijmy się ciągiem o przepisie niewiele różniącym się Zbadajmy granicę ciągu Uzasadnieniem, że liczba jest niewymierną i przestępną zajmiemy się w prezentacji : od ciągu Tajemnicza liczba. Zatem Przekształćmy różnicę. Ale

14 13 Wymieniając symbole nieoznaczone, pojawił się znak Obecnie, możemy pokazać, dlaczego jest to Ciągi : są ciągami, których granice są typu Wyznaczmy ich granice. Granice są różne i zależne odprzepisów ciągów. * * * Wiemy, że symbol nieoznaczony.

15 14 Ćwiczenie 4. Wyznacz granicę ciągu Spróbujmy przepis tego ciągu, doprowadzić do postaci Aby obliczyć tą granicę, najprawdopodobniej trzeba korzystać z poznanych twierdzeń. Ale bezpośrednio, takiego wzoru nie mamy. Stąd gdzie

16 15 Wykorzystaliśmy intuicyjnie oczywiste, zmodyfikowane twierdzenie : * * * ciągiem Fibonacciego. Gdy rozpatrywaliśmy ciągi, poznaliśmy ciekawy ciąg, zwany Udowodniliśmy kilka jego własności. Poznajmy jeszcze jedną własność.Obliczmy Badając ten ciąg wykazaliśmy, że Przypomnijmy jak zdefiniowany był ciąg Fibonacciego.

17 16 ułamek skróćmy przez licznik dzielimy przez i obliczmy Występują ciągi geometr. gdzie, a dla ułatwienia obliczeń

18 17 Granica ta jest równa szczególnej liczbie, którą nazywamy ( wartość złotego podziału ). O złotym podziale w prezentacji : * * * Poznaliśmy nowe ciągi i wyznaczyliśmy ich granice. Oto one : Zatem złotą liczbą ciąg Złota liczba, boska

19 Dalsze twierdzenia o granicach Konsekwencje tych wzorów poznawać będziemy w zadaniach, i następnej prezentacji : Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji by po korekcie, Z góry dziękuję. można było ją uznać za poprawną. i przekazanie uwag, belferwww.one.pl Koniec prezentacji


Pobierz ppt "1 szczególnych Granice ci ą gów. Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym."

Podobne prezentacje


Reklamy Google