Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

1 Analiza Matematyczna część 2 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2007/8 Wojciech Broniowski [wersja z 12 XI 2007]

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "1 Analiza Matematyczna część 2 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2007/8 Wojciech Broniowski [wersja z 12 XI 2007]"— Zapis prezentacji:

1 1 Analiza Matematyczna część 2 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2007/8 Wojciech Broniowski [wersja z 12 XI 2007]

2 2 Ciągi i szeregi

3 3 Przestrzeń metryczna Metryka: Przestrzeń metryczna: para (X, ) Przestrzeń R n, n - wymiar, x = (x 1,x 2,...,x n ), x k – współrzędna Metryka euklidesowa: pomiar linijką Inne przykłady (miejska, wiejska (leśna), węzła kolejowego, max, dyskretna, z funkcją rosnącą)

4 4 Przykłady dla R 2 Metryka miejska: ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 )) = | x 1 -x 2 |+ | y 1 -y 2 | (a,b) oczywiste (c) wynika z Metryka dyskretna: (a,b) oczywiste (c) - przypadki Metryka maximum: max ((x 1,y 1 ) ),(x 2,y 2 )) = max (| x 1 -x 2 |,| y 1 -y 2 |)

5 5 Nierówność Schwarza: liczby rzeczywiste liczby zespolone D: Rozważenie trójmianu w zmiennej t w rozwinięciu lewej strony nierówności daje natychmiast dowód dla przypadku rzeczywistego. Dla przypadku zespolonego mamy Z nierówności Schwarza dla liczb rzeczywistych wynika nierówność (D: podniesienie obu stron do kwadratu i uproszczenie). Stąd wynika warunek trójkąta dla metryki euklidesowej - wystarczy przyjąć a k =x k -y k, b k =z k -y k.

6 6 Metryka produktowa: (X, 1 ), (y, 2 ) – przestrzenie metryczne. Możemy wprowadzić metryki Metryka indukowana – metryka na niepustym podzbiorze A zbioru X Metryka w zbiorze liczb zespolonych C: z 1,z 2 ) = |z 1 -z 2 | Kule (otoczenia) domknięte i otwarte:

7 7 Kule w R 2 z metryką euklidesową i miejską W metryce dyskretnej kulami są zbiory punktowe lub cała przestrzeń

8 8 Kule w metryce indukowanej: Metryka 1 jest silniejsza niż 2 jeśli (dla dowolnego x i dla dowolnie małego można dobrać takie że kula w metryce silniejszej o promieniu zawiera się kuli w metryce słabszej o promieniu ) Metryki 1 i 2 są równoważne jeśli 1 jest silniejsza niż 2 i jednocześnie 2 jest silniejsza niż 1 Przykład metryk równoważnych: euklidesowa, miejska, maksimum Wiejska jest silniejsza od euklidesowej, wiejska nie jest silniejsza od kolejowej, a kolejowa nie jest silniejsza od wiejskiej! Metryka dyskretna jest najsilniejsza i nie jest równoważna z euklidesową Metryki 1 i 2 są jednostajnie równoważne jeśli

9 9 Definicja ciągu: funkcja Notacja: ciąg n-wyrazowy, ciąg liczbowy Ciąg arytmetyczny: a 0, a 0 +r, a 0 +2r, a 0 +3r,..., a 0 +(k-1)r Ciąg geometryczny: a, aq, aq 2, aq 3,...., aq k-1 Ciąg Fibonacciego: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... a n = a n-1 + a n-2 dla n>2 (rekurencja) Ciąg

10 10 Zbieżność ciągu Ciąg (x n ) jest zbieżny do granicy x jeśli dla każdego (dowolnie małego) istnieje n 0 (w ogólności zależne od ) takie, że dla każdego n > n 0 zachodzi, że x n należy do K(x, (prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do dowolnie małej kuli o środku w x) Przykład: x n =1/n (metryka euklidesowa)

11 11 Przykład ciągu w R 2 z metryką maksimum zbieżnego do (0,0) Prawie wszystkie (z wyjątkiem skończonej liczby) wyrazy ciągu znajdują się w dowolnie małej kuli o środku w punkcie będącym granicą ciągu Przykład ciągu rozbieżnego: cos(4n) Inny ciąg rozbieżny: a n =(-1) n

12 12 Ciąg, który nie ma granicy nazywamy rozbieżnym Ciąg, dla którego x n =x dla n > n 0, nazywamy ciągiem stałym. Jego granicą jest x. Ciąg jest ograniczony jeśli (wszystkie wyrazy ciągu należą do pewnej, dowolnie dużej, kuli) Przykłady: 1/n, (-1) n, kontrprzykłady: n, (-1) n n 2 Tw. Ciąg zbieżny ma dokładnie jedną granicę D (przez sprzeczność): Załóżmy, że ciąg ma dwie różne granice x 1 i x 2. Weźmy (wolno nam!) Wtedy z nierówności trójkąta oraz z faktu, że dla n>n 0 element x n musi jednocześnie należeć do otoczenia punktu x 1 i x 2 dostajemy sprzeczność:

13 13 Tw. Ciąg zbieżny jest ograniczony D: Jeśli x jest granicą (x n ), to istnieje n 0 takie, że dla n > n 0 zachodzi (x n,x)<1. Weźmy r = max(1, (x 1,x), (x 2,x),..., (x n 0,x)). Z konstrukcji, więc ciąg jest ograniczony. Przykład: 1/n 2 Przeciwstawnie: ciąg nieograniczony nie może być zbieżny Tw. Ciąg zbieżny w metryce silniejszej jest zbieżny w metryce słabszej. Jeśli metryki są równoważne, to ciąg jest zbieżny w obu metrykach, albo rozbieżny w obu metrykach. D: Korzystamy z faktu, że otoczenia metryki silniejszej zawierają się w otoczeniach metryki słabszej. Tw. Ciąg (x n ) jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg liczb (x n,x) jest zbieżny do 0. D: Wynika bezpośrednio z definicji kuli.

14 14 Podciąg: mając dany ciąg (x n ) oraz rosnący ciąg liczb naturalnych (p n ), tzn. p 1 < p 2 < p 3 <... definiujemy ciąg (y n ) taki, że Przykład: (x n ) =(1,-1,1,-1,1,-1,1,....), (p n )=(1,3,5,7,...), (y n ) =(1,1,1,1,...) Tw. Ciąg jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy każdy jego podciąg jest zbieżny do x. x n = 1/n co drugi wyraz, (p n )=(1,3,5,7,...) co trzeci wyraz, (p n )=(1,4,7,10,...) Wszystkie podciągi zbieżne do x=0

15 15 Tw. O granicy sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu Dowód tw. 1:

16 16 Tw. O zachowanie relacji w granicy: D (przez sprzeczność): Oznaczmy z n =y n -x n, z=lim z n, oraz z=y-x. Załóżmy wbrew tezie, że z<0 i weźmy =-z/2. Z def. granicy dla x i y wiemy, że dla dalekich n zachodzi |x n -x| < i |y n -y| < a więc co przeczy założeniu. (Analogiczne tw. nie zachodzi dla nierówności ostrej: 1/n < 2/n, a obydwa ciągi mają tę samą granicę równą 0)

17 17 Tw. O trzech ciągach (inaczej O dwóch policjantach i aresztancie) D: Z definicji granicy dla n>n 0 mamy |x n -a|< oraz |z n -a|< W szczególności dla n>n 1 =max(k,n 0 ) zachodzi, co oznacza z definicji że (y n ) ma granicę a. Ciąg monotoniczny to ciąg niemalejący lub nierosnący Tw. Ciąg monotoniczny w R jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony Przykład: x n = 1-1/n jest rosnący i ograniczony, więc jest zbieżny, natomiast ciąg x n = 2n jest rosnący i nieograniczony, a więc jest rozbieżny Dla ciągu niemalejącego (nie rosnącego) granicą jest sup{a n } (inf{a n })

18 18 Ciągi rozbieżne do nieskończoności Ciąg jest rozbieżny do plus nieskończoności, gdy a do minus nieskończoności, gdy Przykłady: n, n 2 -n, -n! signum - znak

19 19 Inny zapis powyższych twierdzeń:

20 20 Granice szczególnych ciągów Granica ilorazu wielomianów:

21 21 1.Weźmy. Wtedy natychmiast 2.Weźmy. Wtedy natychmiast Podobnie, korzystając z

22 22 Przykłady

23 23 Hierarchia rozbieżności do nieskończoności szybciej wolniej często spotykane przypadki

24 24 Tw. Stolza (*) Przykład:

25 25 Liczba e John Napier ( ) Leonhard Euler ( )

26 26 Ponieważ a n

27 27 Interpretacja bankowa – procent składany

28 28 Ciągi ograniczone Tw. Bolzano-Weierstrassa: Ciąg ograniczony o wyrazach w R posiada podciąg zbieżny Przykład: a n =cos(4n) zoom więcej punktów

29 29 D: (konstrukcja poprzez kolejne podziały przedziału [a,b]) Tw. Ciąg ograniczony o wyrazach w R n ma podciąg zbieżny Tw. Zbiór granic częściowych ciągu ograniczonego zawiera element największy i najmniejszy (granice dolna i górna)

30 30 Dla ciągu zbieżnego granice dolna i górna są równe granicy ciągu

31 31 Jeszcze o liczbie e

32 32

33 33 Szeregi Paradoks Zenona z Elei (ok. 500 p.n.e.) – Achilles nigdy nie dogoni żółwia Achilles porusza się z prędkością v 1, a żółw z prędkością v 2 = qv 1 < v 1. Początkowa odległość wynosi a. Jeśli Achilles przebiegnie drogę długości a, to żółw przejdzie w tym czasie drogę qa. Po pokonaniu przez Achillesa drogi qa żółw pokona drogę q 2 a, która znowu pozostaje do pokonania Achillesowi, w kolejnym kroku q 3 a, itd. A zatem Achilles nigdy nie dogoni żółwia! a q a q 2 a Achilles Żółw

34 34 Interpretacja geometryczna szeregu geometrycznego Nieindukcyjne wyprowadzenie wzoru na sumę szeregu geometrycznego:

35 35 Definicja szeregu: wyjściowy ciąg liczbowy sumy częściowe szeregu ciąg sum częściowych = szereg granica ciągu sum częściowych - suma szeregu (też: szereg) jeśli istnieje – szereg zbieżny

36 36 Tw: Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu jest zbieżność wyrazów do zera: Szereg harmoniczny: Nie jest to warunek dostateczny podciąg ciągu sum częściowych (geometryczny zbieżny dla |q|<1, rozbieżny dla |q| 1)

37 37 Tw. Suma i różnica szeregów, mnożenie przez liczbę: Tw. Dwa szeregi różne skończoną liczbą wyrazów są albo jednocześnie zbieżne, albo jednocześnie rozbieżne. Tw. Kryterium porównawcze: Tw. (*) Kryterium ilorazowe: (a n ) i (b n ) – ciągi liczb rzeczywistych, b n >0, oraz =c. Wówczas Szereg nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli jest zbieżny W przeciwnym razie mówimy o zbieżności warunkowej. Tw. Szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.

38 38 Przykłady

39 39 Kryterium dAlamberta

40 40 Kryterium pierwiastkowe Cauchyego Kryterium Cauchyego jest silniejsze od kryterium dAlamberta, ale trudniej je stosować. Oba kryteria nie są zbyt subtelne w przypadku rozbieżności, gdyż rozbieżność wynika z faktu, że Kryterium Leibniza Szereg anharmoniczny:

41 41 Inne kryteria zbieżności szeregów

42 42

43 43 Szereg potęgowy promień zbieżności szeregu potęgowego

44 44 Rozwinięcie liczby e w szereg

45 45 Zmiana kolejności sumowania Tw. W szeregu bezwzględnie zbieżnym dowolna zmiana kolejności sumowania nie zmienia granicy, np. Tw. Riemanna: Dla szeregu warunkowo (czyli nie bezwzględnie) zbieżnego odpowiednio zmieniając kolejność sumowania można otrzymać dowolną skończoną granicę lub szereg rozbieżny.

46 46 Iloczyn Cauchyego szeregów Warunek bezwzględnej zbieżności przynajmniej jednego szeregu jest tu istotny. Iloczyn dwóch szeregów zbieżnych warunkowo może być rozbieżny.

47 47 Iloczyny nieskończone (*)

48 48 Ciągi i szeregi funkcyjne Zbieżność niejednostajna

49 49 Kryterium Weierstrassa

50 50 S1S1 S2S2 S3S3 S S S6S6 Zbieżność jednostajna

51 51 Ciągłość

52 52 Zbiory otwarte Rozważamy przestrzeń metryczną (X, ) Otoczenie punktu x: dowolna kula otwarta K(x,r) Sąsiedztwo: K(x,r)-{x} Punkt skupienia x zbioru A: każde sąsiedztwo punktu x zawiera jakiś punkt y zbioru A (x jest różne od y). Uwaga: x nie musi należeć do A Punkt izolowany (zewnętrzny) x zbioru A: x należy do A ale nie jest punktem skupienia (istnieje sąsiedztwo x które nie zawiera żadnych punktów skupienia) Punkt wewnętrzny x zbioru A: istnieje otoczenie x zawarte w A Punkt brzegowy zbioru A: punkt należący do X, który nie jest ani punktem wewnętrznym, ani zewnętrznym zbioru A. Uwaga: nie musi należeć do A Zbiór otwarty: każdy jego punkt jest punktem wewnętrznym Zbiór domknięty: zawiera wszystkie swoje punkty skupienia Zbiór doskonały: domknięty i każdy jego punkt jest punktem skupienia Dopełnienie zbioru A: X-A Zbiór ograniczony A: istnieje liczba M i y należące do X takie, że dla każdego x należącego do A zachodzi (x,y)

53 53 Przykłady a) b) c) d) e) f) g) h) wnętrze koła koło wraz z okręgiem pewien skończony zbiór punktów (X=R)(X=R 2 ) cała przestrzeń

54 54 Przykłady a) b) c) d) e) f) g) h) wewnętrzny zewnętrzny (izolowany) brzegowy otwartydomk- nięty dosko- nały a)taknie b)nietak c)nie d)nietaknie e)nietaknie f)tak g)taknie h)nie (X=R 2 )(X=R)

55 55 Tw. A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego dopełnienie X-A jest domknięte

56 56 Tw. Otoczenie jest zbiorem otwartym Tw. Zbiór otwarty (domknięty) w metryce słabszej jest otwarty (domknięty) w metryce silniejszej. W metrykach równoważnych rodziny zbiorów otwartych są takie same. Tw. Suma dowolnej (nawet nieskończonej) liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym, iloczyn dowolnej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, suma skończonej liczby zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym, iloczyn skończonej liczby zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym. Ale:

57 57 Dla X=R otoczeniami są przedziały otwarte (x-r,x+r) Sąsiedztwa lewo- i prawostronne punktu x: (x-r,x), (x,x+r) Wnętrze zbioru A – najwięjszy zbiór otwarty zawarty w A Domknięcie zbioru A – najmniejszy zbiór domknięty zawierający A Tw. Zbiór a jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu zbieżnego punktów ze zbioru A jego granica należy do A

58 58 Zbiór A jest zwarty jeśli dowolny ciąg punktów zbioru A zawiera podciąg zbieżny do punktu należącego do zbioru A Tw. Zbiór domknięty i ograniczony w R jest zwarty Zbiór B={1,1/2,1/3,1/4,...} nie jest zwarty, bo ciąg (1/n) jest zbiezny to 0, a 0 nie należy do B. Zbiór C={0,1,1/2,1/3,1/4,...} jest zwarty (uzwarcenie) Tw. Zbiór domknięty i ograniczony w R n jest zwarty Tw. Zbiór zwarty jest domknięty

59 59 Ciągi Cauchyego, przestrzeń zupełna (coraz dalsze wyrazy są coraz bliższe siebie) W pewnym sensie mówimy o zbieżności bez specyfikowania granicy Tw. Ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchyego. Ciąg Cauchyego jest ograniczony Przestrzeń nazywamy zupełną jeśli każdy ciąg Cauchyego jest zbieżny (do granicy należącej do tej przestrzeni) Tw. Przestrzeń zwarta jest zupełna Tw. R n jest zupełna

60 60 Granica funkcji

61 61 Granice jednostronne i niewłaściwe Ciągłość lewo- i prawostronna

62 62 0 1/2 1 3/2 2 Ciągła w x=1, chociaż wykres nie jest linią ciągłą! RR

63 63 Przykłady: Część całkowita z liczby, [x] 1/|x| RR

64 64 (RR) f(x)=exp(1/x) f(x)=sin( /x) f(x)=1/x

65 65 Def. otoczeniowa (Cauchyego)

66 66 Przykład i kontrprzykłady:

67 67 Działania na funkcjach ciągłych Wielomiany, f. wymierne, trygonometryczne, cyklometryczne, wykładnicza, logarytmiczna - ciągłe

68 68 Tw. O trzech funkcjach D: Z tw. O trzech ciągach Przykład:

69 69 Przykłady:

70 70 Asymptoty

71 71 Asymptota ukośna funkcji f(x)=(x 2 -3x)/(x+1) (RR)

72 72 Własności funkcji ciągłych Rysunek

73 73 Przykład i kontrprzykład - tangens


Pobierz ppt "1 Analiza Matematyczna część 2 Konspekt wykładu dla studentów fizyki/informatyki Akademia Świętokrzyska 2007/8 Wojciech Broniowski [wersja z 12 XI 2007]"

Podobne prezentacje


Reklamy Google