Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl."— Zapis prezentacji:

1 Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

2 CIĄG ARYTMETYCZNY

3 Zapiszmy kilka różnych ciągów: (a) ( -1, 7, 10, 17, 105, ….) (b) ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,.…) (c) ( -5, 0, 5, 11, 12, 40, ….) (d) ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) O każdym ciągu niewątpliwie powiemy, że jest nieskończony. Zauważmy, że w ciągu (b) każdy następny wyraz wzrasta o 2, czyli różnica ( którą będziemy oznaczać literką r ) pomiędzy kolejnymi wyrazami jest taka sama ( r = 2 ).

4 ( 2, 4, 6, 8, 10, 12,.…) matematycznie zapiszemy: r = a 2 – a 1 = 4 – 2 = 2 r = a 3 – a 2 = 6 – 4 = 2 r = a 6 – a 5 = 12 – 10 = 2 r = const W ciągu (d) pomiędzy kolejnymi liczbami różnica jest taka sama; ciąg jest malejący więc różnica r = -5. ( 105, 100, 95, 90, 85, ….) matematycznie zapiszemy: r = a 2 – a 1 = 100 – 105 = -5 r = a 3 – a 2 = 95 – 100 = -5 r = a 4 – a 3 = 90 – 95 = -5 r = const

5 DEFINICJA: Ciąg, w którym różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym jest stała nazywamy ciągiem arytmetycznym. (a n ) jest ciągiem arytmetycznym jeżeli: r = a n+1 – a n = const

6 Zadanie.1 Sprawdź czy ciąg a n = 10n + 2 jest ciągiem arytmetycznym. Obliczmy kolejne wyrazy powyższego ciągu: a 1 = 10 · = 12 a 2 = 10 · = 22 a 3 = 10 · = 32 a 4 = 10 · = 42 r = a 2 – a 1 = 22 – 12 = 10 r = a 3 – a 2 = 32 – 22 = 10 r = 10 r = a 4 – a 3 = 42 – 32 = 10 r = const Ciąg (a n ) jest ciągiem arytmetycznym.

7 Zadanie.2 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg b n = -11n + 4 jest ciągiem arytmetycznym. b n = –11n + 4 b n+1 = –11(n+1) + 4 = – 11n – = – 11n – 7 wyznaczamy różnicę r: r = b n+1 – b n = = -11n – 7 – [– 11n + 4] = = -11n – n – 4 = – 11 otrzymaliśmy stałą wartość, więc wykorzystując warunek definicji możemy zapisać że ciąg (b n ) jest arytmetyczny.

8 Zadanie.3 Sprawdź wykorzystując definicję, czy ciąg c n = n jest ciągiem arytmetycznym. c n = n c n+1 = (n+1) = n 2 + 2n = n 2 + 2n + 3 wyznaczamy różnicę r: r = c n+1 – c n = = n 2 + 2n + 3 – [n 2 + 2] = = n 2 + 2n + 3 – n 2 – 2 = 2n + 1 Otrzymaliśmy wartość, która zależy od n. Wyrażenie to może się zmieniać bo n jest liczbą naturalną. Dlatego ciąg (c n ) nie jest arytmetyczny.

9 Zadanie.4 Pomiędzy liczby 5 i 72 wstaw taką liczbę, aby otrzymany w ten sposób ciąg był arytmetyczny. Liczby, o których mowa ustawmy ciąg: ( 5, x, 72 ) gdzie x jest szukaną liczbą. Wykorzystując definicję otrzymujemy: r = a 2 – a 1 = x – 5 r = a 3 – a 2 = 72 – x W ciągu arytmetycznym różnica r musi być stała, więc możemy zapisać równanie: x – 5 = 72 – x x + x = x = 77 x = 38,5 Ciąg: ( 5; 38,5; 72 ) jest ciągiem arytmetycznym.

10 W ciągu arytmetycznym pomiędzy jego wyrazami zachodzą zależności; dzięki temu możemy zapisać wzór na ogólny wyraz ciągu: a n = a 1 + ( n - 1 ) · r a 1 – pierwszy wyraz ciągu n – liczba wyrazów n N 1 r – różnica pomiędzy dowolnym wyrazem, a wyrazem go bezpośrednio poprzedzającym a n – dowolny wyraz w ciągu

11 Zadanie.5 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a 1 = 4; r = -5. Oblicz wyrazy a 10, a 100. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: a n = a 1 + ( n – 1 ) · r a n = 4 + ( n – 1 ) · (-5) a n = 4 – 5n + 5 a n = 9 – 5n - wzór ciągu arytmetycznego a 10 = 9 – 5 · 10 = 9 – 50 = - 41 a 100 = 9 – 5 · 100 = 9 – 500 = - 491

12 Zadanie.6 Pomiędzy wyrazy 2 i 101 wstaw dwie liczby x i y tak, aby powstały ciąg ( 2, x, y, 101) był ciągiem arytmetycznym. Z treści zadania: a 1 = 2 a 4 = 101 Zapiszmy wzór na ogólny wyraz ciągu: a n = a 1 + ( n – 1 ) · r a 4 = a 1 + ( 4 – 1 ) · r a 4 = a 1 + 3r 101 = 2 + 3r 3r = 101 – 2 3r = 99 r = 33 Mając różnicę wypiszemy liczby w ciągu: (2, 35, 68, 101) Szukanymi liczbami są: 35 i 68.

13 Zadanie.7 Wyznacz wzór na ogólny wyraz ciągu arytmetycznego w którym: a 1 = 4; a 5 +a 7 = 68. Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru: a n = a 1 + ( n – 1 ) · r a 5 = 4 + ( 5 – 1 ) · r a 7 = 4 + ( 7 – 1 ) · r a 5 = 4 + 4r a 7 = 4 + 6r z treści zadania: a 5 + a 7 = r r = 68 10r + 8 = 68 10r = 68 – 8 10r = 60 r = 6 a n = 4 + ( n – 1 ) · 6 a n = 6n wzór ogólny ciągu arytmetycznego

14 Z ciągiem arytmetycznym związać można ważne pojęcie sumy początkowych wyrazów ciągu, wyrażonej wzorem: S n – suma n-początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego a 1 – pierwszy wyraz ciągu a n – n-ty wyraz ciągu n – liczba wyrazów ciągu

15 Zadanie.8 Wyznacz sumę 50 – początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego przedstawionego wzorem: a n = 4n – 7 Zaczniemy od zapisania odpowiedniego wzoru na sumę: Suma 50 początkowych wyrazów wynosi 4750.

16 Zadanie.9 Karol oszczędza na zakup roweru, który kosztuje 638zł. Pierwszego tygodnia odłożył 52zł, drugiego o 20 zł więcej i tak każdego następnego tygodnia. Ile tygodni musi oszczędzać Karol? Jaka jest wielkość pieniędzy zaoszczędzonych w ostatnim tygodniu? Sytuację w zadaniu zapiszmy za pomocą wzorów dotyczących ciągu arytmetycznego, w którym: (52, 72,………….) a 1 = 52 – pieniądze odłożone pierwszego tygodnia a 2 = = 72 – pieniądze odłożone w drugim tygodniu r = 20 - różnica S n = 638

17 SZUKAMY: n – liczbę tygodni przez które musi oszczędzać Karol a n – wielkość oszczędności w ostatnim tygodniu a n = 52 + ( n – 1 ) · 20 a n = n – 20 = 20n + 32

18 - rozwiązanie ujemne odpada (52, 72, 92, 112, 132, 152,….) Oszczędzając 6 tygodni Karol uskłada 612 złotych. W ostatnim tygodniu musi dołożyć 26zł, aby kupić rower.


Pobierz ppt "Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl."

Podobne prezentacje


Reklamy Google