Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla PARADOKS PRAWDY.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla PARADOKS PRAWDY."— Zapis prezentacji:

1 Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla PARADOKS PRAWDY

2 Epimenides z Krety Ja kłamię 6/7 wiek p.n.e. Zapętlenie w nieskończoność

3 M.C. Escher

4 Russell: klasy normalne i nienormalne Mędrzec: kara śmierci Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem, Arytmetyką i metamatematyką Szkic rozumowania Gödla Numeracja Gödla Formuła Dem(x,y) Numer sub(y,13,y) Skonstruowanie formuły metamatematycznej G Szkic dowodu kilku twierdzeń

5 Czytam książkęKłamię Czyli w miarę łatwo jest mówić o języku w języku, Ale jak zdania o liczbach (twierdzenia) mogą coś komentować o sobie?! Zdania w teorii liczb (arytmetyce) mówią o własnościach liczb naturalnych, ale nie mówią nic o zdaniach. Liczby nie są zdaniami, ich własności też nie są zdaniami, ale gdyby każdej formule udało się przyporządkować jednoznacznie numer ?... ARYTMETYKA METAMATEMATYKA n (2+ n = 4) n (2 + n = 9) Początek pierwszego i drugiego zdania jest taki sam

6 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić Szkic rozumowania Gödla 2)Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. 3)Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

7 Numeracja Gödla mogą

8 Zatem każde zdanie metamatematyczne jest reprezentowane przez dokładnie jedną formułę należącą do arytmetyki. Zależności logiczne pomiędzy zdaniami metamatematycznymi są w pełni odzwierciedlone przez związki liczbowe zachodzące pomiędzy odpowiadającymi im formułami arytmetycznymi. Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce: ( p p) ɔ p a = 2 8 × 3 11 × 5 2 × 7 11 × 11 9 × 13 8 × (p p) b = 2 8 × 3 11 × 5 2 × 7 11 × Metamatematyczne zdanie: Formuła (p p) jest początkową częścią aksjomatu (p p) ɔ p jest w arytmetyce odzwierciedlona formułą: b jest czynnikiem a

9 METAMATEMATYKA ARYTMETYKA Ciąg formuł posiadających numer gödlowski x jest dowodem formuły z numerem gödlowskim z Dem (x, z) Nazwijmy tak relację, która odpowiada temu metamatematycznemu zdaniu Niech podstawienie sub (m, 13, m) oznacza numer gödlowski formuły, którą otrzymuje się z formuły posiadającej numer gödlowski m przez podstawienie za zmienną z numerem gödlowskim 13 (za y) cyfry oznaczającej liczbę m (cyfry, która jest symbolem liczby m) Np. jeśli a jest numerem gödlowskim formuły ( x) (x = sy ) to sub (a, 13, a) jest numerem formuły ( x)(x = sa)

10 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić Szkic rozumowania Gödla 2)Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. 3)Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

11 4) Skoro G jest równocześnie formułą prawdziwą i formalnie nierozstrzygalną, to aksjomatyka arytmetyki jest niezupełna. 5)Mało tego, Gödel pokazał jeszcze jak skonstruować formułę arytmetyczną reprezentującą metamatematyczne zdanie: Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna i pokazał, że ta formuła jest prawdziwa. 6)Na końcu pokazał także, że formuła odpowiadająca metamatematycznemu zdaniu: Arytmetyka jest niesprzeczna nie daje się udowodnić.

12 Konstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ Korzystając z wprowadzonej arytmetycznej relacji Dem (x, y) oraz przyporządkowania Sub (y, 13, y) możemy napisać następującą formułę arytmetyczną (x) ͠ Dem (x, sub (y, 13, y)). Oznaczmy numer gödlowski tej formuły przez n. Formuła ta reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła posiadająca numer gödlowski sub (y, 13, y) nie daje się dowieść. Dla przypomnienia sub (y, 13, y) to numer gödlowski formuły, którą dostaje się z formuły o numerze gödlowskim y poprzez podstawienie w niej za zmienną z numerem gödlowskim 13 cyfry oznaczającej liczbę y. Podstawmy teraz w formule o numerze n cyfrę n za zmienną oznaczoną numerem gödlowskim 13. Dostaniemy : (x)͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) numerem tej formuły jest Sub (n, 13, n) !!!! Zatem na płaszczyźnie metamatematycznej możemy powiedzieć, że formuła ta mówi o sobie samej że nie daje się udowodnić! NAZWIJMY TĘ FORMUŁĘ ARYTMETYCZNĄ FORMUŁĄ G

13 Zarys rozumowania pokazującego, że jeśli G daje się dowieść, to również ͠ G daje się dowieść założenie, że G daje się dowieść jest tożsame z założeniem, że istnieje ciąg formuł arytmetycznych stanowiących dowód formuły G oznaczmy numer gödlowski tego ciągu przez k skoro sub (n, 13, n) to numer gödlowski zdania G, to zachodzi relacja arytmetyczna: Dem (k, sub (n, 13, n)) z twierdzenia tego za pomoca reguł transformacji elementarnej logiki możemy wywieść formułę: ͠ (x) ͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) Jest to formuła ~ G Czyli, jeśli można udowodnić G, to można także udowodnić negację formuły G

14 Chociaż G nie daje się udowodnić formalnie w ramach arytmetyki to jest prawdziwą formułą arytmetyczną W punkcie 2 pokazaliśmy, że jeśli G daje się udowodnić, to także ͠ G daje się udowodnić. Zatem jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to G nie daje się udowodnić. Czyli patrząc na arytmetykę z zewnątrz w metamatematycznym opisie prawdziwe jest zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić. Skoro to zdanie w arytmetyce jest reprezentowane przez formułę G, to jeśli ono jest prawdziwe, to G też jest prawdziwe Jednak to, że G jest prawdziwą formułą arytmetyczną wywiedliśmy nie z dedukcji z aksjomatów arytmetyki, tylko z rozumowania METAMATEMATYCZNEGO

15


Pobierz ppt "Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla PARADOKS PRAWDY."

Podobne prezentacje


Reklamy Google