Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność System ciągły.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność System ciągły."— Zapis prezentacji:

1 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność System ciągły System dyskretny Obserwowalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu początkowego systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu

2 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 2 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy ciągłe

3 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 3 Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSC LS1

4 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 4 Wymiar macierzy sterowalności: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjścia Dla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności

5 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 5 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C Twierdzenie OSC LS2

6 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 6 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Twierdzenie OSC LS3 Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

7 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 7 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSC LS4

8 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 8 Obserwowalność a przekształcenia podobieństwa Obserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

9 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 9 Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Obserwowalność stanu Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny Systemy dyskretne

10 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 10 Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu Twierdzenie OSD LS1

11 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 11 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A D, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A D nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C D Twierdzenie OSD LS2

12 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 12 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Twierdzenie OSD LS3 Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popova – Belevitcha-Hautusa

13 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 13 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C D nie ma kolumn zerowych Twierdzenie OSD LS4

14 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 14 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M c = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,, a para macierzy {A C, B C } jest sterowalna, oraz Jeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną

15 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 15 Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób: Macierz M C ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

16 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 16 Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

17 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 17 Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

18 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 18 Macierze podsystemu sterowalnego Niesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

19 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 19 Związki pomiędzy zmiennymi stanu Wartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny

20 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 20 Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/wykrywalne Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(M o = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie,,, a para macierzy {A o, B o } jest obserwowalna, oraz Jeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną

21 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 21 Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób: Macierz M o ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

22 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 22 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

23 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 23 Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektor Wówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

24 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 24 Macierze podsystemu obserwowalnego Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

25 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 25 Wartości własne systemu oryginalnego System jest niewykrywalny Podsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi

26 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 26 Przykład 3. Ilustracja związków sterowalności i obserwowalności systemów ciągłych oraz ich stabilności Rozważmy system SISO Policzmy macierz tranzycji i skokowe wejście Przyjmijmy zerowe warunki początkowe poza tym

27 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 27 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych

28 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 28 oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych

29 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 29 Odpowiedź wyjścia stabilizuje się

30 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 30 ale odpowiedź stanu wykazuje niestabilność Złe zachowanie stanu zostało ukryte na wyjściu – nie jest widoczne na wyjściu

31 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 31 Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz Zatem System jest nieobserwowalny

32 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 32 Zmieńmy warunki początkowe Wyjście systemu dla tych warunków początkowych Wyjście systemu Takie samo jak dla zerowych w.p.

33 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 33 Twierdzenie Niech będzie dany system liniowy stacjonarny SISO i niech będą wejściami odcinkami ciągłymi oraz i są określone przez Następujące stwierdzenia są równoważne (i) są obserwowalne (ii)

34 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 34 Przykład 4. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

35 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 35 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Policzmy macierz tranzycji

36 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 36 Korzystając z macierzy tranzycji możemy policzyć odpowiedź stanu dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia oraz odpowiedź wyjścia dla zerowych warunków początkowych i skokowego wejścia

37 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 37 Zmieńmy warunki początkowe z zerowych na Odpowiedź stanu dla nowych warunków początkowych i skokowego wejścia

38 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 38 dla nowych warunków początkowych Odpowiedź wyjścia systemu

39 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 39 Odpowiedź wyjścia systemu Odpowiedź stanu systemu

40 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 40 Zbadajmy sterowalność systemu Równania stanu n=2 System jest niesterowalny

41 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 41 Przykład 5. Rozważmy system SISO Zbadajmy obserwowalność systemu Mamy n=2, p=1 oraz

42 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 42 Zatem rank M o = 2 – system jest obserwowalny Zbadajmy sterowalność systemu n=2, r=1 rank M c = 2 – system jest sterowalny

43 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 43 Policzmy macierz tranzycji Zadajmy wejście Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.)

44 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 44 Odpowiedź wyjścia (zerowe w.p.) Odpowiedź stanu (zerowe w.p.) System jest nieminimalnofazowy

45 Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 45 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę


Pobierz ppt "Systemy dynamiczne 2011/2012Obserwowalno ść Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. in ż. Katedra In ż ynierii Systemów Sterowania 1 Obserwowalność System ciągły."

Podobne prezentacje


Reklamy Google