Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

06-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 24 11.4 Faza i prędkość fazowa. 11.3 Fale harmoniczne 11.5 Zespolony zapis fali harmonicznej 11.6 Rodzaje fal 11.6.1.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "06-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 24 11.4 Faza i prędkość fazowa. 11.3 Fale harmoniczne 11.5 Zespolony zapis fali harmonicznej 11.6 Rodzaje fal 11.6.1."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Faza i prędkość fazowa Fale harmoniczne 11.5 Zespolony zapis fali harmonicznej 11.6 Rodzaje fal Fale płaskie 11.2 Różniczkowe równanie fali 11 Ruch falowy 11.1 Fala jednowymiarowa

2 Reinhard Kulessa2 11Ruch falowy 11.1 Fala jednowymiarowa Pamiętamy z mechaniki, że falą nazywamy pewne zaburzenie w ośrodku sprężystym poruszające się kierunku np. x ze stałą prędkością. Zaburzenie to może zachodzić w kierunku równoległym do kierunku rozchodzenia, mamy wtedy do czynienia z falą podłużną, lub w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia, mówimy wtedy o fali poprzecznej. Prędkość rozchodzenia się fal zależy od gęstości i własności sprężystych ośrodka. Dla fali podłużnej w pręcie, E jest modułem sprężystości.

3 Reinhard Kulessa3 Dla fali poprzecznej w pręcie, jest modułem sztywności. Długość fali Najmniejszą odległość między drgającymi punktami znajdującymi się w tej samej fazie nazywamy długością fali. Miejsca geometryczne punktów do których doszło zaburzenie nazywamy czołem fali. Geometryczny kształt czoła fali określa typy fal; Promień fali określa nam kierunek wzdłuż którego rozchodzi się zaburzenie.

4 Reinhard Kulessa4 jeśli jest to płaszczyzna, mamy falę płaską, Zaburzenie będzie zależało zarówno od płożenia, jak i czasu, można go zapisać jako:. jeśli jest to sfera, mamy falę kulistą Czoło fali Promień fali

5 Reinhard Kulessa5 Dla dowolnej chwili t = const można otrzymać kształt zaburzenia. Zakładając, że mamy do czynienia z zaburzeniem nie zmieniającym kształtu wprowadzamy drugi układ współrzędnych U poruszający się razem z zaburzeniem z prędkością v względem układu nieruchomego U. Zobaczmy falę rozchodzącą się na linie.

6 Reinhard Kulessa6 UU vt x x=x-vt Jaka w ogólnym przypadku będzie postać funkcji W układzie ruchomym nie jest więcej funkcją czasu, a zależy tylko od położenia. Mamy więc:.

7 Reinhard Kulessa7 W układzie ruchomym U zaburzenie dla dowolnego czasu t jest takie jak w układzie nieruchomym U dla czasu t=0, w którym początki obydwu układów znajdowały się w tym samym miejscu. Współrzędne obydwu układów związane są następująco: tak, że występujące zaburzenie można zapisać przez współrzędne układu nieruchomego U następująco:,. Symbolicznie równanie fali możemy napisać następująco: (11.1).

8 Reinhard Kulessa8 Równaniem fali będzie również następująca funkcja. Nie przedstawia równania fali np. następujące wyrażenie:. Najbardziej znaną postacią fal są fale sinusoidalne. Równania tych fal możemy podać np. jako:. (11.2)

9 Reinhard Kulessa9 NazwaDługość fali Liczba falowa okresCzęstość kołowa prędkość symbol kT v definicja 2 / = k1/T = 2 = Zależności kinematyczne = v T = v /k = v Równoważne Zapisy Równania fali Zależności występujące pomiędzy wielkościami charakteryzującym falę można zsumować w następującej tabelce

10 Reinhard Kulessa Różniczkowe równanie fali Różniczkowe równanie fali wyprowadzimy w oparciu o II zasadę dynamiki Newtona zastosowaną do małego elementu drgającej struny. x x+ x T T W x (x,t) Poczyńmy następujące założenia: 1.Napięcie T jest stałe również w czasie gdy zaburzenie przechodzi przez rozważany element strugi, 2.Zaniedbujemy ciężar W elementu struny, czyli wymagamy, że przyczyną dynamiki jest napięcie struny, a nie grawitacja, 3. Kąt jest mały

11 Reinhard Kulessa11 Wielkość sił napinających jest taka sama z obu stron elementu struny, lecz przeciwnie skierowana. T T x x+ x T p (x) T p (x+ x) x Wypadkowa pionowa siła napinająca strunę T p (x+ x)-T p (x) nadaje segmentowi pionowe przyśpieszenie zgodnie z II zasada dynamiki Newtona. Jeżeli struna ma masę M i długość L, to masa struny na jednostkę długości wynosi M/L. Rozważany segment ma więc masę M/L · x.

12 Reinhard Kulessa12 Pionowe przyśpieszenie uzyskane przez strunę oznaczamy jako;. Drugie prawo Newtona zapisujemy w postaci:. Zmniejszając przedział x do zera możemy napisać;. Zakładając, że kąt jest mały możemy napisać;.

13 Reinhard Kulessa13 Doprowadzamy więc nasze równanie do następującej postaci;. Wyrażenie T L/M ma wymiar kwadratu prędkości. Na początku tego rozdziału podaliśmy wyrażenia na prędkości fal poprzecznych i podłużnych. T L/M możemy przekształcić do postaci:, gdzie jest naciągiem struny, a gęstością materiału struny.

14 Reinhard Kulessa14 Różniczkowe równanie fali ma więc postać:.(11.3) Jako ciekawostkę omówmy dwa przypadki fal na wodzie. 1. Głębokość h << -czyli płytka woda, wtedy 2. Głębokość h >> -czyli głęboka woda, wtedy gdzie jest napięciem powierzchniowym wody.,

15 Reinhard Kulessa15 Dla prędkości fal na głębokiej wodzie istnieje minimalna prędkość. Można ją znaleźć z podanego wzoru.. Podstawiając równanie na długość fali do odpowiedniego wzoru na prędkość, otrzymujemy;.

16 Reinhard Kulessa Fale harmoniczne Do tej pory nadaliśmy funkcji falowej (x; t) jedynie postać funkcji sinusoidalnych. Funkcja, która będzie rozwiązaniem różniczkowego równania fali będzie miała postać:, gdzie k jest stałą dodatnią. Ustalenie położenia lub czasu prowadzi do sinusoidalnego zaburzenia. Fala jest periodyczna zarówno w przestrzeni jak i w czasie. Odległość po której powtarza się (okres) zaburzenie przestrzenne nazywamy jak już powiedzieliśmy długością fali i oznaczamy przez. Zmiana położenia o długość fali nie zmienia zaburzenia. Mamy więc:.

17 Reinhard Kulessa17 W rozważanym przypadku oznacza to zmianę argumentu funkcji sinus o ±2. Mamy więc:. Wynika stąd, że, oraz, gdyż zarówno k jak i są dodatnie. W sposób analogiczny możemy zbadać periodyczność funkcji ze względu na czas, czyli wyznaczyć okres fali T. Jest to czas, w którym fala o długości przebiega obok nieruchomego obserwatora. Ponieważ chodzi nam o zależność czasową, możemy napisać:

18 Reinhard Kulessa18, czyli,. Wynika stąd, że. Wiedząc, że wszystkie powyższe wielkości są dodatnie, otrzymujemy. Odwrotnością okresu T jest jak wiadomo częstość ; Dla fali definiujemy jeszcze częstość kątową i częstość przestrzenną. Przy czym,

19 Reinhard Kulessa19 Zdefiniowane wielkości charakteryzujące fale harmoniczne dotyczą również fal nieharmonicznych, jak długo przedstawiają one pewne periodyczne zaburzenia Faza i prędkość fazowa. Rozpatrzmy dowolną funkcję harmoniczną: Cały argument funkcji sinus nazywamy fazą (kątem fazowym ), tak, że.

20 Reinhard Kulessa20 W tym zapisie dla kąta fazowego = 0 ( czyli dla t=0, x=0) wartość zaburzenia jest też równa zero. Tak nie zawsze musi być, dlatego wprowadza się fazę początkową tak, że ogólna postać równania przyjmuje postać: Faza (kąt fazowy) powyższego zaburzenia można podać w następującej postaci:.. Faza ta jest funkcją położenia i czasu. Zmianę fazy w czasie przy stałym położeniu definiuje prędkość kątową..

21 Reinhard Kulessa21 Z kolei zmiana fazy w funkcji położenia dla ustalonego czasu prowadzi do równania;. W oparciu o własności pochodnych cząstkowych możemy napisać; Lewa strona tego równania przedstawia prędkość rozprzestrzeniania się zaburzenia dla stałej fazy. Uwzględniając poprzednie równania otrzymujemy;

22 Reinhard Kulessa22 Powyższy wzór definiuje prędkość z którą porusza się zaburzenie. Jest to tzw. prędkość fazowa Zespolony zapis fali harmonicznej Falę harmoniczną możemy napisać w postaci:, czyli, Rodzaje fal Zapoznajmy się z różnymi rodzajami fal z którymi możemy mieć do czynienia. Ze względu na kierunek rozchodzenia się zaburzenia w stosunku do kierunku rozchodzenia się fali możemy mieć fale poprzeczne i podłużne.

23 Reinhard Kulessa Fale płaskie Ze względu na kształt czoła fali możemy mieć fale płaskie i kuliste. Ze względu na charakter zaburzenia fale mogą być skalarne (np. fala dźwiękowa w powietrzu) lub wektorowe (np. fala świetlna). Możemy mieć również fale spolaryzowane (zaburzenie zachowuje stały kierunek) Omówmy dokładniej fale płaskie i kuliste. Oczywistym jest, że fale rozchodzą się w przestrzeni we wszystkich trzech kierunkach. Fala płaska jest najprostszym przykładem fali trójwymiarowej. Miejsce geometryczne punktów o tej samej fazie tworzy płaszczyznę. Płaszczyzny

24 Reinhard Kulessa24 Takie istnieją dla każdej fazy dając w efekcie ciąg płaszczyzn będących zwykle prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Oznaczymy kierunek rozchodzenia się fali przez wektor k o współrzędnych (k x, k y, k z ). Załóżmy również, że wspomniana płaszczyzna przechodzi przez punkt o współrzędnych (x 0, y 0, z 0 ).

25 Reinhard Kulessa25 Jeśli wektor wodzący r określa dowolny punkt w przestrzeni, to wyrażenie; umieszcza wektor r – r 0 na płaszczyźnie prostopadłej do wektora k, przy czym współrzędne końca wektora r – r 0 ; (x, y, z) przyjmują wszystkie dozwolone wartości. Przyjmując, że k (k x,k y, k z ) otrzymujemy w oparciu o poprzednie równanie;, lub. Wyrażenie

26 Reinhard Kulessa26 jest najprostszym równaniem płaszczyzny prostopadłej do k. Płaszczyzna ta jest zbiorem wszystkich punktów, których rzut na kierunek k jest wielkością stałą. = 0 = - A Możemy teraz skonstruować szereg płaszczyzn, dla których warto (r) w przestrzeni zmienia się periodycznie. Mianowicie lub bardziej ogólnie;. Dla powyższych równań, dla każdej płaszczyzny ustalonej przez warunek

27 Reinhard Kulessa27 (r) przyjmuje wartość stałą. Dla fal harmonicznych wartości powinny powtórzyć się w przestrzeni po przesunięciu o w kierunku k. Przedstawia to ostatni rysunek. Rysunek poprzedni przedstawia tylko niektóre z nieskończonej liczby płaszczyzn. Przestrzenną powtarzalność harmonicznego zaburzenia, możemy przedstawić następująco;, Gdzie k o jest wektorem jednostkowym w kierunku wektora falowego. W układzie kartezjańskim płaska fala harmoniczna ma następująca postać;.

28 Reinhard Kulessa28 lub.


Pobierz ppt "06-01-2009Reinhard Kulessa1 Wykład 24 11.4 Faza i prędkość fazowa. 11.3 Fale harmoniczne 11.5 Zespolony zapis fali harmonicznej 11.6 Rodzaje fal 11.6.1."

Podobne prezentacje


Reklamy Google