Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Reinhard Kulessa1 Wykład 4 5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Reinhard Kulessa1 Wykład 4 5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity strumień wektora wychodzącyprzez powierzchnię zamkniętą otaczająca jakiś obszar w polu wektorowym, jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora. d divE dA E

2 Reinhard Kulessa2 (5.6) Jeśli porównamy równania (5.5) i (5.6) to otrzymamy różniczkową postać prawa Gaussa. (5.7) Ładunki elektryczne możemy więc nazwać źródłami pola elektrycznego. Gdy nie ma wypływającego z objętości strumienia, nie ma źródeł. Pole v, dla którego div v = 0 jest polem bezźródłowym.

3 Reinhard Kulessa3 5.4 Twierdzenie Stokesa Analogicznie do związku pomiędzy dywergencją a przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego, istnie je związek pomiędzy składowymi rotacji a powierzchniowymi gęstościami odpowiednich cyrkulacji. dA n rot v Wektor n jest wektorem prostopadłym do elementu powierzchni dA. Wobec tego wektor dA = dA n Powierzchnia A jest naciągnięta na pętlę A

4 Reinhard Kulessa4 Określa to twierdzenie Stokesa (5.8) Po le wektorowe może być polem sił F. Wiemy, że pole wektorowe jest polem bezwirowym, jeśli rotacja tego pola jest równa zero. Dla bezwirowego pola sił (rot F = 0) wynika, że praca siły F po zamkniętym obwodzie jest równa zero. Takie pole sił nazywamy polem zachowawczym.

5 Reinhard Kulessa5 O polu elektrycznym wiemy, że jest polem centralnym. Dla pola centralnego cyrkulacja wektora pola jest równa zero, czyli Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego spełnia tą zależność: Weźmy rozkład linii sił natężenia pola pochodzących od ładunku punktowego.

6 Reinhard Kulessa6 E Krążenie natężenia pola elektrycznego liczymy po zielonym konturze. Na łukach Na promieniach przyczynki się nawzajem znoszą. Wynika stąd, że. Czyli,. Pole elektrostatyczne jest więc polem bezwirowym.

7 Reinhard Kulessa7 Z bezwirowości pola elektrostatycznego wynika istnienie potencjału skalarnego V(r) takiego, że; (5.9) 5.5 Potencjał skalarny pola elektrycznego. Do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego postaci (5.9) możemy dojść w oparciu o wzór (5.3). (5.3)

8 Reinhard Kulessa8 Występujący w tym wzorze element objętości d możemy zapisać jako d = d 3. Zauważmy, że dla funkcji występującej pod całką występuje następująca zależność:. Wiedząc, że składowe gradientu są następujące:

9 Reinhard Kulessa9 oraz, otrzymamy:

10 Reinhard Kulessa10 W oparciu o podane wyrażenia możemy wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od objętościowego rozkładu ładunków (5.3) napisać następująco:. Funkcję skalarną Nazywamy skalarnym potencjałem pola elektrycznego. (5.10)

11 Reinhard Kulessa11 Analogiczne wyrażenia na potencjał pola dla układu ładunków powierzchniowych, punktowych i dla ładunku pojedynczego możemy wyprowadzić odpowiednio w oparciu o równania (5.3a), (5.2) i (5.1). Dla pojedynczego ładunku w oparciu o wzór (5.1) mamy: Wiadomo, że,

12 Reinhard Kulessa12 Czyli.. Po wycałkowaniu otrzymujemy : Przyjmujemy, że w nieskończoności (r = ) potencjał pochodzący od ładunku Q jest równy zero. Musimy wtedy przyjąć, że stała C jest równa zero.

13 Reinhard Kulessa13 Ten sam wynik otrzymamy, jeśli wprowadzimy odpowiednie granice całkowania Można łatwo pokazać, że wyrażenie pod całką jest równe czyli, (5.11a) (5.11) Potencjał określony we wzorze (5.11) jest równy pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku jednostkowego q=1C z nieskończoności na odległość r od ładunku Q.

14 Reinhard Kulessa14 W oparciu o definicję potencjału (5.11a) możemy zdefiniować różnicę potencjału U AB pomiędzy dwoma punktami pola elektrostatycznego. (5.11b) Ze względu na to, że pole elektryczne jest polem centralnym i ma charakter zachowawczy (r. (5.9) ), tak samo jak w mechanice, praca potrzebna na przesunięcie ładunku w polu jest niezależna od drogi po której ją wykonujemy.

15 Reinhard Kulessa15 Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 Q1Q1 Q2Q2 Q3Q3 A B Praca potrzebna do przesunięcia ładunków Q z A do B w polu elektrycznym jest taka sama niezależna od drogi.

16 Reinhard Kulessa16 Q Praca wykonana na przesunięcie ładunku po drodze zamkniętej jest równa zero

17 Reinhard Kulessa ds Ponieważ (5.12) Możemy w oparciu o ostatnie równanie napisać; Dla układu N ładunków punktowych otrzymamy na potencjał w punkcie r wyrażenie: (5.13)

18 Reinhard Kulessa Równanie Poissona i Laplacea Pamiętamy podane w równaniu (5.7) różniczkowe prawo Gaussa. Jeśli do tego równania podstawimy wartość natężenia pola elektrycznego E(r) wyrażone przez potencjał pola V(r) zgodnie ze wzorem (5.9), otrzymamy następujące równanie: (5.14) zwane równaniem Poissona.

19 Reinhard Kulessa19 Ostatnie równanie możemy napisać w postaci operatorowej. Z drugiej strony

20 Reinhard Kulessa20 Operator nosi nazwę laplasjanu. (5.15) Bardzo często stosuje się zapis. W przypadku pola bezźródłowego równanie Poissona przechodzi w równania Laplacea. (5.16)

21 Reinhard Kulessa21 Równanie Poissona i Laplacea, oraz prawo Gaussa, są trzema podstawowymi równaniami pola elektrycznego E. Wynikają one Bezpośrednio z prawa Coulomba. Wprowadzenie strumienia pola elektrycznego było praktyczne i poglądowe, lecz można się było bez tego obyć.

22 Reinhard Kulessa Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące informacje dotyczące pola elektrycznego: 1.Cyrkulacja pola 2.Rotacja pola, definicja pola bezwirowego, pola o zerowej rotacji 3.Twierdzenie Stokesa, podjące związek pomiędzy całką po konturze, a całką powierzchniową, 4.Definicja gradientu pola, 5.Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe potencjału skalarnego, którego gradient jest równy natężeniu pola elektrycznego.

23 Reinhard Kulessa23 6.Dywergencję funkcji wektorowej, 7.Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej 8.Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką powierzchniową a objętościową, 9.Definicja potencjału skalarnego pola, 10.Równania Poissona i Laplacea pozwalające wyliczyć potencjał pola, Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku =0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie Poissona z =0, czyli równanie Laplacea, V=0. Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by podać rozwiązanie V 0.


Pobierz ppt "Reinhard Kulessa1 Wykład 4 5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity."

Podobne prezentacje


Reklamy Google