Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

05-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 18 7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 Względność równoczesności 7.3.2 Transformacja Lorentza 7.3.3 Dodawanie prędkości.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "05-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 18 7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 Względność równoczesności 7.3.2 Transformacja Lorentza 7.3.3 Dodawanie prędkości."— Zapis prezentacji:

1 Reinhard Kulessa1 Wykład Transformacja Lorentza Względność równoczesności Transformacja Lorentza Dodawanie prędkości 7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morleya Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda Dylatacja czasu

2 Reinhard Kulessa2 7.2 Stałość prędkości światła- Doświadczenie Michelsona-Morleya W IX wieku teorie tłumaczące rozchodzenie się światła zakładały istnienie tzw. eteru - czyli ośrodka mającego bardzo szczególne właściwości, dużą sprężystość, przeźroczystość i przenikliwość, przenikającego wszystko i będącego również w próżni. Przy pomiarach prędkości światła trzeba by więc uwzględnić fakt, że Ziemia porusza się względem eteru. Ta prędkość względna powinna mieć wpływ na pomiary prędkości światła, o ile słuszna jest transformacja Galileusza. Jeśli mierzylibyśmy prędkość światła w układzie poruszającym się z prędkością v względem eteru, to dla dwóch różnych kierunków tej prędkości uzyskalibyśmy dwa różne rezultaty na prędkość światła v + c, i -v+c.

3 Reinhard Kulessa3 Z różnicy tych dwóch wartości możemy wyznaczyć prędkość v. Szereg przeprowadzonych eksperymentów dało jako wynik wartość v = 0. Ten fakt spowodował, że Einstein w 1905 r. sformułował swoje postulaty dotyczące tzw. szczególnej teorii względności. 1.Prawa natury mają tą sama postać we wszystkich układach inercjalnych, 2.Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. W roku 1881 Michelson chciał zbadać ruch Ziemi względem eteru przy pomocy doświadczenia, które tu przedyskutujemy. Użył on do tego bardzo czułego instrumentu optycznego – interferometru.

4 Reinhard Kulessa4 l0l0 l0l0 S S P O Q Światło ze źródła Q zostaje po soczewce posłane równoległą wiązką na półprzezroczystą płytkę P. Na płytce tej dzieli się i biegnie do luster S i S. Po odbiciu od luster obydwa promienie docierają do lunetki F. Tam obserwuje się obraz interferencyjny w postaci równoległych prążków.

5 Reinhard Kulessa5 Obraz interferencyjny zależy od różnicy faz, a tym samym od różnicy t czasu przelotu obydwu promieni cząstkowych na drodze PS P i PS P. Przy czym PS = PS = l 0. 1.Przypuśćmy, że interferometr spoczywa w eterze. Wtedy prędkość światła jest wszędzie równa c i t = 0. 2.Jeżeli interferometr porusza się z prędkością v np. w kierunku PS, wtedy powinna wystąpić różnica czasu t. Można to zaobserwować w następujący sposób; Rozważmy układ U, w którym spoczywa eter i układ U poruszający się względem eteru w którym spoczywa interferometr. l0l0 l0l0 S S P O Q v U W układzie U prędkość światła jest c, a w układzie U c-v ( ) i c+v ( ) zgodnie z transformacją Galileusza. W układzie U na czas przelotu odcinka PS P otrzymujemy wartość;

6 Reinhard Kulessa6. Wyznaczenie prędkości po drodze PS P jest trochę trudniejsze. Rozpatrzmy ten problem w układzie U, w którym jak pamiętamy prędkość światła jest c. l0l0 S P Pvt v Widzimy, że;, lub

7 Reinhard Kulessa7. Całkowita różnica czasu jest równa;. Wiadomo, że v<

8 Reinhard Kulessa8 Zaniedbując człony począwszy od kwadratowego, otrzymujemy;. Wniosek jest taki, że światło biegnące po drodze PS P potrzebuje czas dłuższy o t, niż światło biegnące po drodze PS P. Jeżeli obrócimy interferometr o 90 0, obydwa lustra S i S zamienią się rolami, i jeśli tak jak założyliśmy ramiona z lustrami miały jednakową długość, różnica czasów powinna wynosić - t.

9 Reinhard Kulessa9 Czyli oczekiwana różnica różnic czasowych dla dwóch położeń ramion powinna wynosić;. Jeżeli jako v przyjmiemy prędkość orbitalną Ziemi w ruchu dookoła Słońca i założymy średnią wartość tej prędkości jako 30 km/s, to możemy znaleźć wartość ( t);.

10 Reinhard Kulessa10 Tak małą różnicę czasów przelotu można zmierzyć przy pomocy interferometru. Dla porównania okres drgań fali świetlnej wynosi;. Różnice czasu rzędu 1/100 tej wielkości powodują jeszcze mierzalne przesunięcie prążków interferencyjnych. x NSNS OWOW NSNS Linia przerywana przedstawia przewidywaną zmianę położenia, a czerwona otrzymaną w doświadczeniu. Różnice były 40 razy mniejsze niż przewidywane. Wniosek jest taki, że nie ma względnego Ruchu Ziemi względem eteru. Czyli, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych.

11 Reinhard Kulessa11 L (cm)Calcul.Observ.Ratio Michelson, Michelson & M Morley &Miller, Illingworth, Joos, Michelson-Morley Data Over a period of about 50 years, the Michelson-Morley experiment was repeated with growing levels of sophistication. The overall result is a high level of confidence that the wavelength shift is consistent with zero. Shankland, et al., Rev. Mod. Phys. 27, 167 (1955)

12 Reinhard Kulessa Transformacja Lorentza Względność równoczesności 1.Prawa natury mają ta sama postać we wszystkich układach inercjalnych, 2.Prędkość światła jest stała i taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezależnie od ruchu źródła i obserwatora. Przypomnijmy sobie postulaty Einsteina Wynik doświadczenia Michelsona, że nie ma wyróżnionego układu współrzędnych, jest zgodna z drugim postulatem Einsteina. Rozważmy następujące doświadczenie; W chwili t = 0 dwa układy U i U pokrywają się swoimi początkami O = O zachodzi błysk światła.

13 Reinhard Kulessa13 Układy te poruszają się z pewną prędkością w kierunku x. O O z x y v W obydwu układach prędkość światła wynosi c. Światło rozchodzi się kuliście, tak, że po czasie t pokonuje drogę ct. Mamy więc w układzie U;.(7.1) Równocześnie w układzie U mamy;. (7.2)

14 Reinhard Kulessa14 OO z x y v x y z P(x,y,z) Wynika więc z tego, że dla chwili t=t czoło fali promienia świetlnego znajdowałoby się na dwóch różnych kulach o różnych środkach przesuniętych o odcinek OO = vt. Jest to pewnego rodzaju sprzeczność, którą możemy tylko wtedy wyjaśnić, gdy zaniechamy stosowania pojęcia czasu uniwersalnego i zamiast tego przyjmiemy, że przy przejściu pomiędzy dwoma poruszającymi się prostoliniowo układami współrzędnych następuje nie tylko zależna od czasu zmiana współrzędnych, ale również zależna od położenia zmiana czasu.

15 Reinhard Kulessa15 BNA B R A BN A B R A B N A B RA BN A B RA 1.Błyskawica uderza w pociąg w punkach A i B oraz w szyny w punktach A i B. 2.Światło z A osiąga ruchomego obserwatora R. 3.Światło z A i B osiąga nieruchomego obserwatora w punkcie N. 4. Światło z B osiąga ruchomego obserwatora R Rozważmy jako przykład tzw. pociąg Einsteina

16 Reinhard Kulessa16 Widzimy więc, że równoczesność jest względna a nie absolutna. Zależy ona od ruchu obserwatora. Dla obserwatora N punkty A i A pokrywają się w tym samym czasie co punkty B i B. Dla niego więc długość odcinka torów AB jest równa długości pociągu A B. Obserwator ruchomy R widzi jednak rzeczy inaczej. Ponieważ widzi on błyskawicę z przodu pociągu wcześniej niż z tyłu, wydaje mu się, że A i A koincydują wcześniej niż B i B. Przyjmuje on więc, że długość toru AB jest krótsza od długości pociągu A B. Obydwaj obserwatorzy nie zgadzają się więc co do oceny długości jak i czasu.

17 Reinhard Kulessa Transformacja Lorentza Opierając się na postulatach Einsteina postaramy się znaleźć zależność pomiędzy wartościami położenia i czasu mierzonymi przez jednego obserwatora, z odpowiednimi wartościami mierzonymi przez drugiego obserwatora znajdującego się w ruchu względem pierwszego obserwatora. Jeśli wybierzemy sobie dwa układy współrzędnych U i U z dwoma obserwatorami, to z transformacji Galileusza otrzymamy; x x U U v yy. (7.3) t bierze pod uwagę możliwość różnych skali czasowych.

18 Reinhard Kulessa18 Ponieważ może również zmieniać się długość(odległość) wprowadzamy czynnik skalujący ( niezależny od pozycji i czasu), ale mogący zależeć od prędkości v.. (7.4) Zgodnie z I postulatem Einsteina w obydwu równaniach powinno występować to samo, aby nie wyróżniać żadnego z układów. Wprowadziliśmy współczynnik jako matematyczną możliwość, gdy v 0, 1. Chcemy znaleźć opierając się na II postulacie Einsteina. Jeśli w czasie pokrywania się początków układów U i U włączymy zegary, to pokażą one czas t i t.

19 Reinhard Kulessa19 Jeśli w chwili pokrywania się układów dla (x = 0, t = 0, oraz x = 0, t = 0) w początku układów zajdzie błysk światła, to ze względu na to, że światło rozchodzi się w każdym z tych układów z prędkością c, mamy;. Wstawiając to do równania (7.4) mamy;. Mnożąc ostatnie dwa równania przez siebie otrzymujemy;. (7.5) Na współczynnik otrzymujemy wyrażenie;

20 Reinhard Kulessa20.(7.6) Ze względu na to, że dla v = 0, x = x, przyjmujemy we wzorze (7.6) znak +1. Transformacja położenia i czasu przyjmie postać;., (7.8) Wzory przedstawiają transformacje Lorentza.

21 Reinhard Kulessa Dodawanie prędkości Chcąc wyrazić prędkość ciała poruszającego się w układzie ruchomym przez przez prędkość w układzie nieruchomym, nie możemy już stosować transformacji Galileusza, gdyż byłoby to sprzeczne z II postulatem Einsteina. Nowe wyrażenie na dodawanie prędkości wyprowadzimy w oparciu o transformację Lorentza (7.8). Wyprowadźmy wyrażenia dla różniczek położenia i czasu. (7.9) Dzieląc te równania stronami otrzymamy szukane zależności.

22 Reinhard Kulessa22 Niech cząstka ma prędkość u w układzie U i u w układzie U tak jak na rysunku. x x U U v yy uxux u x Wtedy, i mamy;. Czyli ostatecznie,. Gdy,.

23 Reinhard Kulessa23. (7.10) Równocześnie ze względu na zależność możemy napisać, że;. Po zebraniu wzorów na dodawanie prędkości razem, otrzymujemy;

24 Reinhard Kulessa24 (7.11) (gdzie maksymalna wartość u=c, oraz v=c), otrzymujemy; 1 2 v/c 01 u/c Porównując dodawanie dwóch jednakowych prędkości u = v według Galileusza i Einsteina

25 Reinhard Kulessa Kontrakcja długości Lorentza - Fizgeralda Rozważmy znów układ nieruchomy U i ruchomy U, i zmierzmy w obydwu tych układach długość odcinka. W układzie U mamy x 2 – x 1 wykonujemy pomiar w chwili t 1 = t 2, aby móc przyjąć, że x 2 – x 1 oznacza długość. W układzie U mamy odpowiednio x 2 -x 1. Korzystając z transformacji Lorentza, otrzymujemy;. (7.12)

26 Reinhard Kulessa Dylatacja czasu Umieśćmy w stałym punkcie x 0 układu ruchomego U zegar. Układ ten porusza się z prędkością v w kierunku osi x. W układzie nieruchomym U umieszczamy dwa zsynchronizowane zegary umieszczone w punktach x 1 i x 2. x x U U v yy x 0 x1x1 x2x2 Gdy zegar x o w U mija zegar x 1 w U, rejestrujemy czasy t 1 w układzie U i t 1 w układzie U. Gdy zegar w U mija zegar x 2 w U, rejestrujemy czasy t 2 w układzie U i t 2 w układzie U. Odpowiednie przedziały czasowe Wynoszą w układzie U t = t 2 – t 1, a w układzie U t = t 2 – t 1. W oparciu o równanie (7.9) mamy;

27 Reinhard Kulessa27.(7.13) Ponieważ w układzie U zegar spoczywa, więc x = 0, mamy więc Przykład: Mion jest cząstką nietrwałą, rozpadającą się w czasie 2 s, mierzonym na zegarze będącym w spoczynku względem mionu. Licząc klasycznie- mion w poruszający się z prędkością c przebywa czasie swego życia drogę ct=3·10 8 m/s 2·10 -6 s = 600 m zanim się rozpadnie. Wiele mionów dociera jednak do Ziemi. Odpowiedzmy na pytanie, czy mion o prędkości v = c znajdujący się na wysokości 30 km dotrze do powierzchni Ziemi. Dla nas odległość pokonana przez mion będzie równa czyli doleci.


Pobierz ppt "05-12-2008Reinhard Kulessa1 Wykład 18 7.3 Transformacja Lorentza 7.3.1 Względność równoczesności 7.3.2 Transformacja Lorentza 7.3.3 Dodawanie prędkości."

Podobne prezentacje


Reklamy Google