Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, 170877 Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte.

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, 170877 Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte."— Zapis prezentacji:

1 Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek podwójnych.

2 Metoda Monte Carlo liczenia całek podwójnych: Całkę przy czym przyjmujemy 0 dla punktów leżących poza D. gdzie D to obszar zamknięty w kwadracie [a,b] x [a,b] obliczamy w następujący sposób: Losujemy niezależnie liczby u 1, u 2, …, u n oraz v 1, v 2, …, v n z rozkładu jednostajnego U [0, 1]; Przekształcamy x k = a + (b - a)u k i y k = a + (b - a)v k dla k = 1, 2,..., n; Jako przybliżoną wartość całki przyjmujemy:

3 Zajmijmy się teraz kolejno różnymi funkcjami: 1) Niech D będzie kwadratem [0,2] x [0,2], natomiast

4 Policzmy dokładną wartość całki: Wylosowane liczby będziemy przeliczać następująco: x k =2u k y k =2v k Nasza całka przyjmie postać:

5 Policzmy wartości całki dla różnych rzędów n Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

6 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli: Wartość całkiBłąd bezwzględny Wartość prawdziwa 40 n=1004,3750,375 n=10003,9640,036 n=30003,9930,007

7 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

8 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu: Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 3,2540,74618,65% Maksymalna wartość 4,8260,82620,65% n=1000 Minimalna wartość 3,720,287% Maksymalna wartość 4,3450,3458,63% n=3000 Minimalna wartość 3,8150,1854,63% Maksymalna wartość 4,2280,2285,7%

9 2) Teraz niech obszar będzie ograniczony krzywymi: Funkcją niech pozostanie:

10 Policzmy dokładną wartość całki:

11 Policzmy wartości całki dla różnych n: Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

12 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli: Wartość całkiBłąd bezwzględny Wartość prawdziwa 2,1330 n=1002,3170,184 n=10002,0740,059 n=30002,1480,015

13 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

14 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu: Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 1,3270,80637,79% Maksymalna wartość 2,9230,7937,04% n=1000 Minimalna wartość 1,9610,1728,06% Maksymalna wartość 2,3370,2049,56% n=3000 Minimalna wartość 1,9380,1959,14% Maksymalna wartość 2,2270,0944,41%

15 3) Nasz obszar umieśćmy w kwadracie: [2,5] x [2,5] Niech będzie on ograniczony prostymi: Nasza funkcja będzie miała postać: y = 3, y = (0,5x - 2) 2 + 2, y = (x - 4) 3 + 2

16 Policzmy dokładną wartość całki:

17 Policzmy wartości całki dla różnych n: Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

18 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli: Wartość całkiBłąd bezwzględny Wartość prawdziwa 13,0290 n=10014,5181,489 n=100012,6790,35 n=300013,0220,007

19 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

20 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu: Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 7,1695,8644,98% Maksymalna wartość 20,1497,1254,65% n=1000 Minimalna wartość 10,7322,29717,63% Maksymalna wartość 15,0382,00915,42% n=3000 Minimalna wartość 11,9061,1238,62% Maksymalna wartość 14,1231,0948,4%

21 4) Niech obszar znajduje się w kwadracie: [2,6] x [2,6] Zamknijmy go prostymi: Funkcją pozostanie:

22 Policzmy dokładną wartość całki: Znajdźmy punkty przecięcia się prostych zamykających obszar: x=2,272 lub x=5,707

23 Policzmy wartości całki dla różnych n: Dla n=100: Dla n=1000: Dla n=3000:

24 Oto przykładowe wartości zebrane w tabeli: Wartość całkiBłąd bezwzględny Wartość prawdziwa 32,6290 n=10035,4072,778 n=100031,2731,356 n=300032,5390,09

25 Zestawienie rozproszenia przybliżeń dla różnych n przy 200 różnych losowaniach: n=100 n=1000 n=3000

26 Zestawienie skrajnych danych dotyczących wykresu: Przybliżenie całki Wartość Błąd bezwzględny Błąd względny n=100 Minimalna wartość 18,65913,9742,81% Maksymalna wartość 49,33816,70951,21% n=1000 Minimalna wartość 28,7013,92812,04% Maksymalna wartość 38,5335,90418,09% n=3000 Minimalna wartość 29,263,36910,33% Maksymalna wartość 35,6032,9749,11%

27 Wnioski: Widzimy, iż wraz ze wzrostem ilości losowanych liczb błąd przybliżenia maleje; Przy n=3000 we wszystkich przypadkach zostało uzyskane zadowalające przybliżenie; Im mniejszą część kwadratu zajmuje badany obszar, tym bardziej błąd przybliżenia rośnie.

28 Do obliczeń, a także rysowania wykresów użyto następujących aplikacji: MS Excel Derive 6 Obszary całkowania i funkcje podcałkowe na podstawie własnej wyobraźni


Pobierz ppt "Projekt z Rachunku Prawdopodobieństwa MAEW00104 MAP1064 Gabriel Szuter, 170877 Wydział Elektroniki Kierunek Teleinformatyka Temat: Ilustracja metody Monte."

Podobne prezentacje


Reklamy Google