Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Pobieranie prezentacji. Proszę czekać

Wyznaczanie obszaru stabilności bezwzględnej Przekształćmy równanie charakterystyczne do postaci:

Podobne prezentacje


Prezentacja na temat: "Wyznaczanie obszaru stabilności bezwzględnej Przekształćmy równanie charakterystyczne do postaci:"— Zapis prezentacji:

1

2 Wyznaczanie obszaru stabilności bezwzględnej Przekształćmy równanie charakterystyczne do postaci:

3 i stawiamy pytanie odwrotnie: Jeżeli z leży wewnątrz lub na kole jednostkowym to gdzie będzie leżało x iy płaszczyzna z płaszczyzna Re( ) Im( )

4 Przykłady metoda jawna Adamsa - Bashfortha schemat Eulera Przyjmując, że z leży na okręgu jednostkowym i podstawiając do równania:

5 dla metody Eulera otrzymujemy: Wnętrze koła i dla rzeczywistych mamy:

6 Algorytm Adamsa – Bashfortha II-go rzędu i po odpowiednich przekształceniach mamy:

7 Odwzorowanie koła jednostkowego jest Jeżeli rzeczywiste

8 Dla rzędu III-go Dla rzeczywistych

9 Dla czwartego rzędu h jeszcze mniejsze niż dla metody rzędu trzeciego

10 Metody niejawne Adamsa – Moultona metoda niejawna Eulera Obszar stabilności określa równanie: Jest to równanie okręgu o środku w punkcie –1 i promieniu 1. Obszar stabilności na zewnątrz tego okręgu.

11

12 Oznacza to, że niejawna metoda Eulera: jest stabilna dla dowolnej długości kroku h. Oczywiście nie możemy zapomnieć o fizyce procesu opisywanego równaniem czy układem równań różniczkowych

13 Algorytm II-go rzędu (algorytm trapezów) Dla odwzorowania koła jednostkowego mamy: Badamy jak odwzorowuje się koło czyli

14

15 Wnętrze koła odwzorowuje się na prawą półpłaszczyznę co oznacza, że jeżeli rozwiązanie równania jest stabilne, czyli Re( ) 0, to krok całkowania h może być dowolny. Zawsze nie możemy zapomnieć o fizyce procesu opisywanego równaniem czy układem równań różniczkowych i to jest główne ograniczenie wielkości kroku.

16 Algorytm III-go rzędu Adamsa - Moultona i dla koła jednostkowego czyli

17 dla rzeczywistych mamy warunek:

18 Algorytm VI-go rzędu Adamsa - Moultona i mamy odwzorowanie:

19

20 i Zbierając wyniki: Metody jawne Adamsa – Bashfortha: i algorytm niejawny Adamsa –Moultona: h – dowolny h < 6 h < 3

21 Otrzymane wyniki pokazują wyższość metod niejawnych nad metodami jawnymi. W metodzie predyktor – korektor, gdzie metoda jawna służy tylko i wyłącznie do otrzymania zerowego przybliżenia rozwiązania równania metody niejawnej, o stabilności decyduje tylko metoda niejawna. Jak widać również z podanych ocen z punktu widzenia stabilności zbyt wysoki rząd metody nie jest korzystny

22 Równania sztywne Dany jest obwód elektryczny: uCuC Równanie różniczkowe dla napięcia u C na kondensatorze jest: Warunki początkowe są: i Równanie charakterystyczne: które ma pierwiastki: i

23 r 1 =-10 r 2 =-10000

24 Zapiszmy równanie: w postaci normalnej: lub podstawiając dane: warunki początkowe: Wybierzmy metodę jawną Eulera, krok h=10 -5

25

26 Ponieważ dla czasów zanikła składowa u 2 (t)~exp(-10000t) weźmy dokładne wartości startowe w punkcie t=0.005 i(t=0.005)= u C (t=0.005)= stała czasowa 0.1 więc można przyjąć krok h=0.01

27 krok h=

28 krok h= krytyczny krok h kr < start w punkcie t=0.005 z dokładnych wartości początkowych

29 Rozważamy układ n równań różniczkowych: i=1,2,...,n i może być liczbą zespoloną postaci: Jedno z rozwiązań układu równań różniczkowych będzie postaci: gdzie C i jest stałą całkowania. Przypadek 1. ponieważ =h, więc czyli jest to prawa półpłaszczyzna

30 Im Re III stabilny liczba dobrana tak, że po jednym kroku praktycznie: 0 W obszarze: rozwiązanie powinno być i dokładne i stabilne, bo składowa przejściowa nie znikła i mamy oscylacje Liczba oscylacji: Dla uzyskania dokładności w fazie początkowej powinno być N<1/8. Oznaczając = i h

31 Im Re III stabilny 0 mamy: czyli - II W obszarze II rozwiązanie numeryczne musi być: dokładne i stabilne Przypadek 2. Rozwiązanie jest narastające i można liczyć tylko odpowiednio małym krokiem

32 Algorytm wielokrokowy, stabilny bezwzględnie w obszarze nie może być rzędu wyższego niż 2. Najlepszy jest algorytm trapezów. Im Re III stabilny 0 - II czyli algorytm powinien być dokładny i względnie stabilny - I Twierdzenie Dahlquista: Algorytmy spełniające warunki I, II, III nazywamy sztywno stabilnymi

33 Trapezy prawa półpłaszczyzna =0

34 dla rzeczywistych mamy warunek: =0 trzeci rząd

35 =0 czwarty rząd

36 Algorytmy sztywno stabilne Geara Pierwszego

37 drugiego:

38 trzeciego:

39 czwartego:

40 Metoda Runge - Kutty Równanie Rozwiązujemy stosując szereg Taylora ale

41 czyli

42 ale a Podstawiając do i porządkując mamy

43 Metoda Runge -Kutty

44 Sposób wyznaczania współczynników na przykładzie metody drugiego rzędu (p=2): Drugi składnik rozwijamy w szereg Taylora w otoczeniu punktu x n, t n Podstawiając i porządkując mamy:

45 a porównując z szeregiem Taylora przy tych samych potęgach h otrzymujemy:

46 Przyjmując w 2 =1 mamy: w 1 =0, b 21 =1/2 i stąd algorytm: lub w1=w2=w i rozwiązując otrzymujemy: w=0.5, b 21 =1 i stąd inny algorytm:

47 Przykład: Dany jest dławik o charakterystce: Rezystancja dławika wynosi 0.5. Obliczyć prąd płynący w obwodzie zasilanym sem e(t)=100sin314t. Schemat obwodu możemy przyjąć w postaci:

48 Suma spadków napięć pozwala zapisać równanie: Biorąc pod uwagę krzywą magnesowania: Podstawiając do równania obwodu i porządkując:

49 Warunek początkowy jest i 0 =i(t=0)=0. Wybór kroku całkowania: Stała czasowa liniowej części obwodu wynosi 0.1/0.5=0.2s. Krok czasowy można przyjąć 0.2/10=20ms. Okres wymuszenia T=20ms krok należy przyjąć rzędu T/20=1ms. Prawdopodobnie będzie trzecia harmoniczna więc przyjmujemy krok h=0.2ms.

50 Obliczenia metodą Runge – Kutty według schematu: x=i; Start: i(t=0)=i 0 =0 h=0.0002

51 i mamy: t=h= Metoda Runge – Kutty pozwala zmienić krok na każdym etapie. Zwiększamy krok dwukrotnie. h=0.0004

52 i 2 = K 2 i 2 =

53 Jak ocenić czy wolno zmienić długość kroku? Czy zmniejszyć czy zwiększyć? Ocena błędu metodą Rungego: Dla metody rzędu p-go mamy:

54 stąd ocena błędu: Znając ocenę błędu można poprawić rozwiązanie podstawiając do

55 lub dokładniej z równania:

56 W obliczanym przypadku musimy powtórzyć obliczenia z krokiem i mamy dla t=0.0004: K 1 = K 2 = i 1+1/2 = Dla t= mamy: K 1 = K 2 = i 1+2*1/2 =

57 Obliczone z krokiem h= było: i 2 = W tym przypadku p=2 i ze wzoru: mamy oceną błędu:

58 Rozwiązanie poprawione ze wzoru: i 2 = Na wykonanie jednego kroku należało policzyć funkcję f(i n,t n ) 2 – h= – h= razem 5 - razy

59 Metoda IV –go rzędu Przy ocenie dokładności obliczeń metodą Rungego wymaga 11-krotnego obliczenia f(x,t).

60 Metoda Mersona

61 tylko 5-cio krotne obliczanie f(x,t). Przykład Równanie wahadła: Niech =1s -2 Warunki początkowe:około 86°

62 Sprowadzamy do układu równań I-go rzędu Warunki początkowe: Obliczenia chcemy prowadzić z dokładnością Startujemy z krokiem h=0.1. Krok wybrano jako 0.1 okresu wahadła liniowego.

63

64 Błąd:

65 Dokładność założona została osiągnięta. W następnym kroku można zwiększyć krok. Rozwiązanie w chwili t=0.1 i do następnego kroku możemy wystartować z nową wartością kroku h

66 Metody włożone lub Metody Fehelberga – Runge -Kutty Stosujemy metodę Runge – Kutty rzędu p i rzędu p+1 i aby zmniejszyć liczbę obliczanych współczynników wybieramy je tak, że w obu metodach jest pierwszych p współczynników K jednakowe, czyli i=2,3,..,p+1

67 i mamy dla metody rzędu p-go a dla metody rzędu (p+1)-go Ocenę błędu można zrobić stosunkowo prosto

68 Po odjęciu stronami otrzymujemy: gdzie

69 Znając błąd możemy postępować jak w metodzie Mersona i rozwiązanie przyjmować z dokładniejszej metody rzędu p+1. Najczęściej stosowana metoda RKF45 ma współczynniki

70 Błąd

71 Rozwiązanie wykorzystując metodę dokładniejszą jest Metoda gwarantuje obliczenia z błędem rzędu h 4.


Pobierz ppt "Wyznaczanie obszaru stabilności bezwzględnej Przekształćmy równanie charakterystyczne do postaci:"

Podobne prezentacje


Reklamy Google