Metody numeryczne Wykład no 1.

Prezentacja na temat: "Metody numeryczne Wykład no 1."— Zapis prezentacji:

1 Metody numeryczne Wykład no 1

2 Literatura Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych Część I, WNT 1981. Dryja M., Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część II, WNT 1982. 3. Stoer J.: Wstęp do metod numerycznych. t. I, PWN Warszawa 1979. 4. Stoer J., Bulirsch R.: Wstęp do metod numerycznych. PWN Warszawa 1980. 5. Ralston A.: Wstęp do analizy numerycznej. PWN Warszawa 1975. 6. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT Warszawa 1982. 7. Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne. PWN Warszawa 1983.

3 Zapis liczb w maszynie cyfrowej
Liczby całkowite gdzie ei=0 lub 1. Jeżeli na zapis liczby przeznaczymy d bitów, to pierwszy bit - znak, następne d-1 bitów - zapis liczby czyli mając do dyspozycji rejestr d bitowy p=d-2 i możemy zapisać liczbę całkowitą: w Pascalu mamy reprezentacje:

4 1 byte = 8 bitów 1 byte shortint : -27 n   n  127 tylko nieujemne: byte : 0  n   n  255 2 byte = 16 bitów integer : -215  n   n  32767 tylko nieujemne: word : 0  n   n  65535

5 W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane
4 bite = 32 bity longint : -231 n   n  W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane w maszynie cyfrowej dokładnie. Przekroczenie zakresu dla danego typu liczb całkowitych powoduje najczęściej błędne obliczenia. Liczby rzeczywiste Reprezentacja zmiennoprzecinkowa: m – mantysa, przyjmuje się, że

6 Mantysa m jest obliczana z zależności:
W maszynie cyfrowej mamy do dyspozycji skończoną liczbę bitów wynoszącą t i mantysa maszynowa mt jest: a więc popełniamy błąd zaokrąglenia mantysy:

7 c - cecha Przykład: x=znak liczby |mantysa |znak cechy |cecha x=0|1110|011 zmieniamy jeden bit: x=0|1111|011 i mamy: Spróbujmy przedstawić w tej maszynie liczbę x=7.25 cecha: 23 i mantysa m=7.25/8=

8 reprezentacja dwójkowa mantysy:
czyli

9 Przy ośmiu bajtach dla zapisu liczb rzeczywistych liczb
między 7.00 i 7.50 nie rozróżniamy. Rzeczywiście mamy: błąd mantysy 2-4=0.0625, maksymalna cecha 8, czyli *8=0.5. Błąd względny : czyli lub inaczej Maksymalny błąd względny przy najostrzejszym oszacowaniu, to: ale

10 czyli o wielkości błędu względnego decyduje liczba bitów
przeznaczonych na mantysę. W Pascalu stosujemy reprezentacje: single – 4 byte w tym 1 byte cecha błąd względny reprezentacji: a więc 7 do 8 prawidłowych cyfr znaczących. Zakres reprezentowanych liczb: gdzie

11 real – 6 byte cecha – 1 byte błąd względny reprezentacji: około 10 do 12 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb jak dla single czyli

12 double – 8 byte cecha 11 bitów błąd względny reprezentacji: około 15 do 16 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:

13 extended – 10 byte cecha – 15 bitów błąd względny reprezentacji: około 19 do 20 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:

14 Rodzaje błędów: 1. błędy danych wejściowych, 2. błędy obcięcia, 3. błędy zaokrągleń. Błąd obcięcia Błąd obcięcia:

15 Błąd obcięcia będzie dyskutowany przy poszczególnych
metodach Błąd danych wejściowych może być np. spowodowany błędami popełnionymi przy pomiarach wymiarów geometrycznych, itp..

16 Układy równań liniowych
Jeżeli N<M, układ równań jest nieokreślony, N=M – określony N>M - nadokreślony Rozważymy tylko przypadki N=M

17 Zapisujemy w formie macierzowej (tablicy)
a układ równań zapisujemy w postaci równania:

18 Rozwiązywanie układów równań liniowych
Dany jest układ równań liniowych: A – macierz (tablica) o wymiarze NxN, aij – element macierzy A leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie

19 Będziemy też stosować zapis:
i,j=1,2,...,N Macierz transponowana: AT Macierz odwrotna: A-1 Macierz jednostkowa: 1 gdzie X – wektor (tablica jednokolumnowa) niewiadomych o N składowych i=1,2,...,N Zapis:

20 Często wygodniej zapisywać w postaci:
Metoda Gaussa Przykład: Zapisujemy w postaci:

21

22

23 Redukcja górnej trójkątnej:

24

25 ostatnia kolumna zawiera rozwiązanie:
X =