XXVI SZKOŁA DYDAKTYKI MATEMATYKI Złoty Potok 09-11.09.2013 STOWARZYSZENIE KOŁO SNM AKADEMIA NAUCZYCIELI FORUM DYDAKTYKÓW IM. JANA DŁUGOSZA MATEMATYKI MATEMATYKI W CZĘSTOCHOWIE XXVI SZKOŁA DYDAKTYKI MATEMATYKI Złoty Potok 09-11.09.2013

Rola kalkulatorów graficznych w rozwiązywaniu matematycznych problemów Jarosław Kowalski - nauczyciel matematyki w LO im. mjr H.Sucharskiego w Myszkowie – Uniwersytet Pedagogiczny w Krakowie opiekun naukowy: prof. dr hab. Henryk Kąkol

1.Wpływ technologii informacyjnej na edukację matematyczną Wstęp: 1.Wpływ technologii informacyjnej na edukację matematyczną Żyjemy w społeczeństwie informacyjnym. Lawinowo rozwijająca się technologia stwarza nowe możliwości, stawia wyzwania, wymusza zmiany. Świat wokół nas zmienia się w niezwykłym tempie a postęp przerasta ludzkie wyobrażenia. Ekspansja nowych technologii i technik informacyjnych powoduje także zmiany w edukacji, wymusza zmianę standardów nauczania, oceniania, metod uczenia. Daje nieograniczone możliwości dla wszystkich przedmiotów nauczania. Edukacja ulega, przeobrażeniom związanym ze zmianami warunków, w jakich jest prowadzona. Zadaniem jej jest nie tylko wyposażenie uczniów w pewien zasób wiadomości i aktywności z zakresu matematyki, ale przede wszystkim kształtowanie takich postaw, które pozwolą im sprawnie funkcjonować w coraz szybciej zmieniającej się rzeczywistości, coraz bardziej nasyconej technologią informacyjną

Żyjemy w społeczeństwie informacyjnym Żyjemy w społeczeństwie informacyjnym. Lawinowo rozwijająca się technologia stwarza nowe możliwości, stawia wyzwania, wymusza zmiany. Świat wokół nas zmienia się w niezwykłym tempie a postęp przerasta ludzkie wyobrażenia. Ekspansja nowych technologii i technik informacyjnych powoduje także zmiany w edukacji, wymusza zmianę standardów nauczania, oceniania, metod uczenia. Daje nieograniczone możliwości dla wszystkich przedmiotów nauczania. Edukacja ulega, przeobrażeniom związanym ze zmianami warunków, w jakich jest prowadzona. Zadaniem jej jest nie tylko wyposażenie uczniów w pewien zasób wiadomości i aktywności z zakresu matematyki, ale przede wszystkim kształtowanie takich postaw, które pozwolą im sprawnie funkcjonować w coraz szybciej zmieniającej się rzeczywistości, coraz bardziej nasyconej technologią informacyjną. Miejsce i rola technologii informacyjnej w szkolnej edukacji matematycznej, z jednej strony charakteryzuje się ogólnymi regułami wykorzystania jej w edukacji, a z drugiej jest pod ogromnym wpływem silnych związków między obiema dziedzinami, matematyką i informatyką. Nauczanie matematyki powinno uwzględniać zarówno stan matematyki, jako dziedziny wiedzy, jak również jej znaczenie i użyteczność dla każdego człowieka. W każdym przypadku należy zwrócić uwagę na jej rolę, która stwarza nowe możliwości porozumiewania się. W nauczaniu matematyki należy rozróżnić jej dwie funkcje na zajęciach: - pomoc dydaktyczna, czyli urządzenia wspomagające proces uczenia się i nauczania - element składowy dziedziny nauczania matematyki, czyli urządzenia służące wzbogacaniu i rozszerzaniu zakresu i metod jej nauczania

2.Działalność i charakter czynności nauczyciela w procesie nauczania matematyki Działalność nauczyciela w procesie nauczania matematyki skupia się wokół: kształtowania pojęć matematycznych uczenia rozwiązywania zadań rozwijania umiejętności prowadzenia rozumowań matematycznych kształcenia języka matematycznego [Kąkol, 2010] W obecnej szkole charakter jego czynności ma wywoływać: aktywność, samodzielność, zaangażowanie, pogłębiać wiedzę, umożliwiać dotarcie do bardziej zaawansowanych pojęć, rozwijać własne poszukiwania u uczniów, sprawiać, że to uczeń sam tworzy swoją wiedzę. Dobór środków dydaktycznych musi być, więc taki, by były one pomocą w rozwiązaniu problemu a nie wyręczały ucznia w pracy i przysłaniały jego istoty. Istotnym problemem dydaktycznym w uczeniu rozwiązywania zadań jest przyswajanie przez uczniów pewnych schematów i ogólnych metod, ale organizowanie ich twórczego doświadczenia w taki sposób, aby ich bronić od uwarunkowania przez te schematy. Uczeń powinien sam rozwiązywać zadania, poznawać odpowiednie metody rozwiązywania i umieć je wykorzystać przy rozwiązywaniu innych zadań. Komputer, kalkulator powinien pomagać uczniowi szczególnie w sytuacji, w której nie potrafi on poradzić sobie z napotkanym problemem, a poznane metody zawodzą

Działalność nauczyciela w procesie nauczania matematyki skupia się wokół: kształtowania pojęć matematycznych uczenia rozwiązywania zadań rozwijania umiejętności prowadzenia rozumowań matematycznych kształcenia języka matematycznego W obecnej szkole charakter jego czynności ma wywoływać: aktywność, samodzielność, zaangażowanie, pogłębiać wiedzę, umożliwiać dotarcie do bardziej zaawansowanych pojęć, rozwijać własne poszukiwania u uczniów, sprawiać, że to uczeń sam tworzy swoją wiedzę. Dobór środków dydaktycznych musi być, więc taki, by były one pomocą w rozwiązaniu problemu a nie wyręczały ucznia w pracy i przysłaniały jego istoty. Istotnym problemem dydaktycznym w uczeniu rozwiązywania zadań jest przyswajanie przez uczniów pewnych schematów i ogólnych metod, organizowanie ich twórczego doświadczenia w taki sposób, aby ich bronić od uwarunkowania przez te schematy. Uczeń powinien sam rozwiązywać zadania, poznawać odpowiednie metody rozwiązywania i umieć je wykorzystać przy rozwiązywaniu innych zadań.

Lekcja matematyki ma ukazywać uczniom, że matematyka to nie tylko czysta teoria, to nauka w otaczającym nas świecie łącząca zagadnienia i technologie różnych dziedzin. Kształcenie matematyczne ma pomagać w zdobyciu określonych sprawności i umiejętności projektowania i wykonywania obliczeń, stosowania definicji i twierdzeń, porządkowania, przetwarzania oraz interpretowania danych liczbowych w postaci graficznej oraz w podejmowaniu różnych działań. Środkiem do osiągnięcia tych celów są zadania rozwiązywane w trakcie nauki. Są środkiem utrwalającym, kształtującym pojęcia matematyczne a zarazem sprawdzającym postępy uczniów w nauce i wyniki ich nauczania. Rozwiązywanie zadań to zdobywanie praktycznych umiejętności przydających się w życiu codziennym wzywających do samodzielności i twórczego działania. Uczeń będąc stroną aktywną ma szanse zdobywać wiedzę operatywną, a kształtowanie takiego rodzaju wiedzy stawiane jest jako nadrzędny cel wśród wielu metod nauczania matematyki i postulowane było m.in. przez prof. Zofie Krygowską. Rozwiązywanie zadań to czynnik aktywizujący, dzięki któremu uczeń w sposób czynny zdobywa wiedzę, a nie tylko biernie ją przyjmuje. Za ich pomocą możemy pokazywać zastosowania matematyki, kształcić wyobraźnię, logiczne myślenie, uczyć rozumowań matematycznych. Uczniowie uczą się w trakcie własnej aktywności, dłużej pamiętają zdobyte informacje i wiadomości w wyniku własnych poszukiwań, niż gotowe, podane przez nauczyciela. Chodzi o to, by potrzebną wiedzę i umiejętności uczniowie nabywali w sposób trwały, skuteczny a dodatkowo przyjemny.

3.Zadania problemy – środek do osiągnięcia celów kształcenia matematycznego Lekcja matematyki ma ukazywać uczniom, że matematyka to nie tylko czysta teoria, to nauka w otaczającym nas świecie łącząca zagadnienia i technologie różnych dziedzin. Kształcenie matematyczne ma pomagać w zdobyciu określonych sprawności i umiejętności projektowania i wykonywania obliczeń, stosowania definicji i twierdzeń, porządkowania, przetwarzania oraz interpretowania danych liczbowych w postaci graficznej oraz w podejmowaniu różnych działań. Środkiem do osiągnięcia tych celów są zadania rozwiązywane w trakcie nauki. Są środkiem utrwalającym, kształtującym pojęcia matematyczne a zarazem sprawdzającym postępy uczniów w nauce i wyniki ich nauczania. Rozwiązywanie zadań to zdobywanie praktycznych umiejętności przydających się w życiu codziennym wzywających do samodzielności i twórczego działania. Uczeń będąc stroną aktywną ma szanse zdobywać wiedzę operatywną, a kształtowanie takiego rodzaju wiedzy stawiane jest jako nadrzędny cel wśród wielu metod nauczania matematyki i postulowane było m.in. przez prof. Zofie Krygowską. Rozwiązywanie zadań to czynnik aktywizujący, dzięki któremu uczeń w sposób czynny zdobywa wiedzę, a nie tylko biernie ją przyjmuje. Za ich pomocą możemy pokazywać zastosowania matematyki, kształcić wyobraźnię, logiczne myślenie, uczyć rozumowań matematycznych. Uczniowie uczą się w trakcie własnej aktywności, dłużej pamiętają zdobyte informacje i wiadomości w wyniku własnych poszukiwań, niż gotowe, podane przez nauczyciela. Chodzi o to, by potrzebną wiedzę i umiejętności uczniowie nabywali w sposób trwały, skuteczny a dodatkowo przyjemny. Zofia Krygowska dla potrzeb nauczania dokonała klasyfikacji zadań występujących w nauczaniu szkolnym i tak możemy wyróżnić ich typy: 1. Zadania - ćwiczenia 2. Zadania - na zastosowanie teorii 3. Zadania - problemy Najbardziej cenne wydają się być zadania – problemy, zwiększające problemowość nauczania. Zadanie problemowe to zadanie, którego nie można łatwo rozwiązać znanymi dotychczas sposobami, nie jest znany gotowy schemat, algorytm rozwiązania. Zadanie to zawiera w sobie pewną nową trudność i chcąc je rozwiązać trzeba tą pojawiającą się w nim trudność pokonać. Wiąże się to z dużym wysiłkiem umysłowym. Wymaga zaktywizowania posiadanej wiedzy i przeprowadzenia szeregu operacji myślowych. Zadania problemy wymagają pomysłowości, myślenia kreatywnego i twórczego, umiejętności spojrzenia na problem z dystansu. Chcąc rozwiązać zadanie problem stosuje się metody heurystyczne, które sprzyjają odkryciu. Inicjatorem współczesnego nurtu heurystyki jest G. Polya. Zebrał i pogrupował typowe pytania i wskazówki, które są pomocne przy omawianiu zadań z uczniami. Typowe operacje myślowe użyteczne przy rozwiązywaniu zadań sformułował i spisał w kolejności, tworząc listę pytań i wskazówek. W szkole w trakcie nauki wiele czasu poświęca się na nudne i nużące rutynowe rachunki i rozumowania, które u uczniów zdolnych niszczy zainteresowanie matematyką i chęć stawienia czoła nowym problemom. Człowiek w swoim życiu napotyka natomiast na szereg często zaskakujących go sytuacji i powinien być przygotowany do tego, aby im sprostać. Należy, zatem tak uczyć, aby uczniowie nie unikali trudnych problemów, które niesie z sobą życie, ale umieli sobie z nimi poradzić. Zadania – problemy pełnią taką rolę w nauczaniu. Zwiększają jego problemowość, wyzwalają aktywność i samodzielności i rozbudzają zainteresowanie matematyką. W niniejszej pracy chcę przedstawić pewien eksperyment dydaktyczny dotyczący rozwiązania zadania problemu z wykorzystaniem środka dydaktycznego: kalkulatora graficznego.

Profesor Zofia Krygowska dla potrzeb nauczania dokonała klasyfikacji zadań występujących w nauczaniu szkolnym i tak wśród nich możemy między innymi wyróżnić typy: Zadania – ćwiczenia Zadania - na zastosowanie teorii Zadania – problemy Najbardziej cenne wydają się być zadania – problemy, zwiększające problemowość nauczania. Zadania, których rozwiązania nie uzyska się na danym poziomie bez pewnej pomysłowości, bez szczypty choćby matematycznej wyobraźni, bo na ich rozwiązanie nie wystarcza ani wiedza, ani sprawność techniczna, ani nawet doświadczenie w rozwiązywaniu typowych zadań. Zadanie problemowe to zadanie, którego nie można łatwo rozwiązać znanymi dotychczas sposobami, nie jest znany gotowy schemat, algorytm rozwiązania. Zadanie to zawiera w sobie pewną nową trudność i chcąc je rozwiązać trzeba tą pojawiającą się w nim trudność pokonać. Wiąże się to z dużym wysiłkiem umysłowym. Wymaga zaktywizowania posiadanej wiedzy i przeprowadzenia szeregu operacji myślowych. Zadania - problemy wymagają pomysłowości, myślenia kreatywnego i twórczego, umiejętności spojrzenia na problem z dystansu. Chcąc rozwiązać zadanie problem stosuje się metody heurystyczne, które sprzyjają odkryciu. W szkole w trakcie nauki wiele czasu poświęca się na nudne i nużące rutynowe rachunki i rozumowania, które u uczniów zdolnych niszczy zainteresowanie matematyką i chęć stawienia czoła nowym problemom. Człowiek w swoim życiu napotyka natomiast na szereg często zaskakujących go sytuacji i powinien być przygotowany do tego, aby im sprostać. Należy, zatem tak uczyć, aby uczniowie nie unikali trudnych problemów, które niesie z sobą życie, ale umieli sobie z nimi poradzić. Zadania – problemy pełnią taką rolę w nauczaniu. Zwiększają jego problemowość, wyzwalają aktywność i samodzielności i rozbudzają zainteresowanie matematyką.

LO im. mjr H.Sucharskiego w Myszkowie Opis eksperymentu: dotyczącego rozwiązania zadania problemu z wykorzystaniem środka dydaktycznego: kalkulatora graficznego. W niniejszej pracy chcę przedstawić pewien eksperyment dydaktyczny dotyczący rozwiązania zadania problemu z wykorzystaniem środka dydaktycznego: kalkulatora graficznego. Eksperyment przeprowadziłem w trzech grupach: pierwsza grupa to uczniowie klasy trzeciej (11 osób – III e), drugą i trzecią grupę stanowili uczniowie klasy drugiej (29 osób – II e i 10 osób – II d) liceum ogólnokształcącego w Myszkowie. Wszyscy biorący udział w eksperymencie realizowali program matematyki rozszerzonej i do eksperymentu przystąpili dobrowolnie na zajęciach pozalekcyjnych. Grupa uczniów z klasy II d nie zetknęła się nigdy z kalkulatorem graficznym w nauce szkolnej. Pozostali uczniowie wykorzystywali go sporadycznie podczas nauki do sporządzania wykresów funkcji trygonometrycznych. W wszystkich grupach przeprowadziłem wcześniej zajęcia, na których przypomniałem wiadomości o wykresach i własnościach funkcji wykładniczej i logarytmicznej. W trakcie tych zajęć ćwiczyłem sporządzanie wykresów na kalkulatorach graficznych, zmianę zakresu oglądanego przedziału układu współrzędnych, wprowadzanie wartości parametru, funkcję śledzenia TRACE, odczytywanie wartości funkcji (funkcja TABLE), na, tyle aby uczniowie z łatwością posługiwali się kalkulatorem i nabrali pozytywnego nastawienia do tego środka dydaktycznego. Zatem zadanie postawione przed uczniami dostosowane było do ich aktualnej wiedzy matematycznej oraz umiejętności związanych z obsługą kalkulatora graficznego. Przed każdymi zajęciami przygotowywałem kalkulatory graficzne dla wszystkich uczniów oraz rzutnik z panelem umożliwiającym prezentacje ekranu kalkulatora nauczycielskiego całej klasie. Przebieg całego eksperymentu nagrywałem na dyktafon, sporządzałem notatki a dla uczniów przygotowałem karty pracy z treścią zadania, na których uczniowie zapisywali jego rozwiązanie (sporządzali wykresy, spostrzeżenia, uwagi, wnioski). LO im. mjr H.Sucharskiego w Myszkowie

  Eksperyment przeprowadziłem w trzech grupach: pierwsza grupa to uczniowie klasy trzeciej (11 osób – III e), drugą i trzecią grupę stanowili uczniowie klasy drugiej (29 osób – II e i 10 osób – II d) liceum ogólnokształcącego w Myszkowie. Wszyscy biorący udział w eksperymencie realizowali program matematyki rozszerzonej i do eksperymentu przystąpili dobrowolnie na zajęciach pozalekcyjnych. Grupa uczniów z klasy II d nie zetknęła się nigdy z kalkulatorem graficznym w nauce szkolnej. Pozostali uczniowie wykorzystywali go sporadycznie podczas nauki do sporządzania wykresów funkcji trygonometrycznych. W wszystkich grupach przeprowadziłem wcześniej zajęcia, na których przypomniałem wiadomości o wykresach i własnościach funkcji wykładniczej i logarytmicznej. W trakcie tych zajęć ćwiczyłem sporządzanie wykresów na kalkulatorach graficznych, zmianę zakresu oglądanego przedziału układu współrzędnych, wprowadzanie wartości parametru, funkcję śledzenia TRACE, odczytywanie wartości funkcji (funkcja TABLE), na, tyle aby uczniowie z łatwością posługiwali się kalkulatorem i nabrali pozytywnego nastawienia do tego środka dydaktycznego. Zatem zadanie postawione przed uczniami dostosowane było do ich aktualnej wiedzy matematycznej oraz umiejętności związanych z obsługą kalkulatora graficznego. Przed każdymi zajęciami przygotowywałem kalkulatory graficzne dla wszystkich uczniów oraz rzutnik z panelem umożliwiającym prezentacje ekranu kalkulatora nauczycielskiego całej klasie. Przebieg całego eksperymentu nagrywałem na dyktafon, sporządzałem notatki a dla uczniów przygotowałem karty pracy z treścią zadania, na których uczniowie zapisywali jego rozwiązanie (sporządzali wykresy, spostrzeżenia, uwagi, wnioski).

Zadanie będące treścią eksperymentu: Ile pierwiastków ma równanie:

Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji: Sformułowanie treści zadania przez uczniów: Ile punktów wspólnych mają wykresy funkcji:

(są to funkcje odwrotne) ma jedno rozwiązanie w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, które leży na prostej o równaniu: y=x gdyż te wykresy są względem niej symetryczne (są to funkcje odwrotne) ma zero rozwiązań

ma tylko jedno rozwiązanie zero lub dwa rozwiązania

a=2 a=e a=3 a=4 a=6

a=1,2 a=1,3 a=1,4

np. a=1,4446

ma dwa rozwiązania ma jedno rozwiązanie nie ma rozwiązania

a=0,25 a=0,5 a=0,75 a=0,8

a=0,01 a=0,03

ma trzy rozwiązania ma jedno rozwiązanie

Ile pierwiastków ma równanie:

- ma dwa rozwiązania - nie ma rozwiązania - ma trzy rozwiązania - ma jedno rozwiązanie - ma trzy rozwiązania - ma jedno rozwiązanie

Wnioski Uczeń rozwiązując takie zadanie problem staje się badaczem, który pod kierunkiem nauczyciela odkrywa problemy, formułuje hipotezy i próbuje je uzasadnić, co ma wpływ na jego funkcjonowanie w przyszłej pracy zawodowej. Rozwiązując zadania problemowe wiedza ucznia staje się trwalsza, głębsza i bardziej systematyczna, rozwija aktywność, samodzielność w myśleniu i działaniu, wpływa na wytrwałość w dochodzeniu do celu. Umiejętność rozwiązywania problemów matematycznych ma, zatem przełożenie na rozwiązywanie problemów w życiu codziennym. Zadania problemy kształtują i rozwijają wyobraźnię ucznia oraz logiczne myślenie. Rozwijają zainteresowania i zdolności poznawcze ucznia, wpływają na zaspokojenie ich potrzeb, ambicji oraz własnej ciekawości o świecie.

Kalkulator graficzny w przeprowadzonym eksperymencie: - przyczynił się do rozwiązania postawionego problemu - miał wpływ na przebieg pracy - na strategię zastosowaną w rozwiązywaniu - na ilość, zakres, poziom trudności prowadzonych doświadczeń - dał możliwość eksperymentowania chaotycznie bez planu - stawiania hipotez i weryfikacji swoich działań - wizualizacji postawionego problemu - dał możliwość skupienia się na problemie a nie na żmudnych wykresach

Analizując i podsumowując wyniki pracy uczniów badanych grup można stwierdzić, że to kalkulator graficzny pozwolił uczniom na rozwiązanie bardzo trudnego problemu matematycznego, stworzył każdemu z nich nawet uczniom słabym możliwość odnalezienia liczby pierwiastków naszego równania. Kalkulator graficzny miał wpływ na przebieg pracy, na strategię zastosowaną w rozwiązywaniu, ilość, zakres oraz poziom trudności prowadzonych doświadczeń. Uczniowie mogli nie mając pomysłu na rozwiązanie eksperymentować chaotycznie bez planu a następnie zweryfikować swoje działania i uporządkować. Wizualizacja postawionego problemu w oknie kalkulatora doprowadzała uczniów do odkrywania, formułowania hipotez i do ich weryfikacji. Możliwość obserwacji wielu przypadków przyczyniła się do rozwinięcia intuicji potrzebnych w poszukiwaniu pomysłów rozwiązania rozpatrywanego problemu. Obserwacja wykresów stała się głównym sposobem badania liczby rozwiązań. Najistotniejsze okazały się, więc możliwości graficzne kalkulatora. Uczniowie mogli się skupić na problemie zadania a nie na żmudnych, dokładnych, poprawnych, bezbłędnych i czasochłonnych wykresach. Praca z kalkulatorem cechowała się dużą atrakcyjnością i zaciekawieniem. Uczniom towarzyszyły wówczas odczucia zaangażowania się całym sobą, chęci badania, doświadczania i działania, satysfakcji, poczucia własnej wartości z wykonanej pracy. Kalkulator stwarzał sytuacje, w których uczniowie stawali się eksperymentatorami i odkrywcami. W trakcie zajęć tworzyły się małe grupy, które wymuszały aktywność wszystkich jej uczestników, co sprzyjało obiektywnej ocenie i samoocenie wyników pracy.